题目内容

已知以x为自变量的二次函数y=4x2-8nx-3n-2,该二次函数图象与x轴的两个交点的横坐标的差的平方等于关于x的方程x2-(7n+6)x+2(n+1)(5n+4)=0的一整数根,求n的值.
分析:首先运用因数分解法把方程x2-(7n+6)x+2(n+1)(5n+4)=0变形为(x-2n-2)(x-5n-4)=0,则这一整数根即为2n+2或5n+4;根据抛物线与x轴的两个交点的横坐标的差的平方等于
b2-4ac
a2
,进一步求解,然后得到关于n的方程即可.
解答:解:∵方程x2-(7n+6)x+2(n+1)(5n+4)=0变形为(x-2n-2)(x-5n-4)=0,
则整数根即为2n+2或5n+4.
又抛物线与x轴的两个交点的横坐标的差的平方等于
b2-4ac
a2
=4n2+3n+2,
①当4n2+3n+2=2n+2时,解得n=0或n=-
1
4
(应舍去);
②当4n2+3n+2=5n+4时,解得n=1或-
1
2
(应舍去).
则n=1或0.
点评:此题要能够熟练运用因式分解法解一元二次方程和熟悉抛物线与x轴的两个交点的距离公式.
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