Question

如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径的半圆O，与斜边AC交于点D，E是BC边的中点，连接DE．
（1）DE与半圆O相切吗？若相切，请给出证明；若不相切，请说明理由；
（2）若AD、AB的长是方程x²-6x+8=0的两个根，求直角边BC的长；
（3）在（2）的条件下，则图中阴影部分的面积=

 

．

Answer 1

分析：（1）相切．连接OD，证OD⊥DE即可．因为AB是直径，所以连接BD，则BD⊥AC，△BCD为直角三角形．又E是BC中点，得DE=EB，所以∠EDB=∠EBD；因OB=OD，有∠OBD=∠ODB．所以∠ODE=∠OBC=90°，得证；
（2）解方程求AD、AB的长，从而求BD．利用△ADB∽△BDC得比例线段求解；
（3）阴影部分的面积=S_{四边形BODE}-S_扇形BOD．
根据DE是△BDC的中线可得S_△BDE=

1

2

S_△BDC，同理，S_△BOD=

1

2

S_△ABD．
所以S_{四边形BODE}=

1

2

S_△ABC．
分别求各部分面积求解．

解答：解：（1）DE与半圆O相切，
连接OD，BD，
∵AB是直径，∴BD⊥AC，△BCD为直角三角形，
∵E是BC中点，∴DE=EB，
∴∠EDB=∠EBD；
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB，
∴∠ODB+∠EDB=∠OBD+∠EBD，即
∠ODE=∠OBC=90°．
∴DE与半圆O相切．

（2）解方程x²-6x+8=0得x₁=2，x₂=4，
∴AD=2，AB=4，
∴BD=2

3

，
∵∠ABC=90°，BD⊥AC，
∴△ADB∽△BDC，
∴

BC

AB

=

BD

AD

，即

BC

4

=

2 3

2

，
∴BC=4

3

．

（3）∵OA=OD=AD=2，∴∠AOD=60°，
∴∠DOB=120°，
∴S_扇形BOD=

120•π•22

360

=

4π

3

，
∵DE是△BDC的中线，
∴S_△BDE=

1

2

S_△BDC，
同理，S_△BOD=

1

2

S_△ABD，
∴S_{四边形BODE}=

1

2

S_△ABC=

1

2

×

1

2

×4×4

3

=4

3

．
∴S_阴影部分=4

3

-

4π

3

．

点评：此题考查的知识点较多，综合性较强，难度偏上．