题目内容
【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a（x-1）2-4a（a＞0）交x轴于A、B两点，点A在点B的左边，其顶点为点C，一条开口向下的抛物线经过A、B、D三点，其顶点D在x轴上方，且其纵坐标为3，连接AC、AD、CD．
（1）直接写出A、B两点的坐标；
（2）求经过A、B、D三点的抛物线所对应的函数表达式；
（3）当△ACD为等腰三角形时，求a的值；
（4）将线段AC绕点A旋转90°，若点C的对应点恰好落在（2）中的抛物线上，直接写出a的值．
【答案】（1） A（-1，0），B（3，0），（2）y=-
x2+
x+
，（3） a=或a=
；（4）a1=
，a2=
．
【解析】
试题分析：（1）根据点的特点，令y=0，求出方程的解，即可；
（2）根据抛物线解析式确定出点C，D的坐标和对称轴方程，再设出所求解析式即可．
（3）△ACD为等腰三角形时，分三种情况计算：①以CD为底时，则C，D关于x轴对称，建立方程求解，②以AC为底时，则AD=CD，建立方程求解，③以AD为底时，则AC=CD，建立方程求解即可．
（4）先表示出直线AC的解析式为y=-2ax-2a，从而求出直线l与抛物线的交点M（
，
），然后表示出AM，AC建立方程即可．
试题解析：（1）令y=0，
∴a（x-1）2-4a=0，
∵a＞0，
∴（x-1）2-4=0
∴x1=-1，x2=3，
∴A（-1，0），B（3，0），
（2）∵y=a（x-1）2-4a，
∴抛物线的顶点C（1，-4a），对称轴为x=1，
∴D（1，3），
设经过A，B，D三点的抛物线解析式为y=m（x-1）2+3，
∴m=-，
∴经过A，B，D三点的抛物线解析式为y=-（x-1）2+3=-x2+x+，
（3）当△ACD为等腰三角形时，分三种情况计算，
①以CD为底时，则C，D关于X轴对称，
∴C（1，-3），
∴-4a=-3，
∴a=，
②以AC为底时，则AD=CD，
根据勾股定理得，AD=
，
∴CD=2-（-4a）=3+4a=
，
∴a=；
③以AD为底时，则AC=CD，
根据勾股定理得，AC=
，
∴CD=3-（-4a）=2
，
∴a=-
＜0（舍）；
（4）由（1）知，A（-1，0），C（1，4a），AC=2，
∴直线AC的解析式为y=-2ax-2a，
设线段AC绕点A旋转90°得到的直线为l，
∴l⊥AC且过点A，
∴直线l解析式为y=
x+，
∵抛物线y=-x2+x+，
∴3ax2+（2-6a）x+2-9a=0，
∴x1=1（舍），x2=，
∴直线l与抛物线的交点M（，），
∴AM=|6a-1|×
，
∵AM=AC，
∴2=|6a-1|×，
∴6a2=|6a-1|
当6a-1≥0时，6a2=6a-1，
∴a=
，
当6a-1＜0时，6a2=1-6a，
∴a=-3±
（舍），
即：a1=，a2=．
