题目内容

如图，AB是半圆O的直径，以O为圆心，OE长为半径的小半圆交AB于E，F两点，弦AC是小半圆的切线，D为切点，已知，AO=4，AC=4 $数学公式$ ，则图中阴影部分的面积等于________．

$\text{[math]}$
分析：连接OC，由垂径定理求出AD=DC=2 $\text{[math]}$ ，由勾股定理求出OD=2= $\text{[math]}$ AO，求出∠A=30°=∠ACO，∠AOD=60°，⊙AOC=120°，∠COB=60°，分别求出扇形AOC的面积、△AOC的面积、扇形DOF的面积、△ADO的面积、大半圆的面积，代入阴影部分的面积（S_大半圆-（S_扇形AOC-S_△AOC）-S_△ADO-S_扇形DOF）求出即可．
解答：

连接OC，
∵AC切小半圆于D，
∴OD⊥AC，
∴由垂径定理得：AD=DC=2 $\text{[math]}$ ，
在Rt△ADO中，由勾股定理得：OD=2= $\text{[math]}$ AO，
∴∠A=30°=∠ACO，
∴∠AOD=60°，⊙AOC=120°，∠COB=60°，
∴扇形AOC的面积是： $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ π，
△AOC的面积是 $\text{[math]}$ ×AC×OD= $\text{[math]}$ ×4 $\text{[math]}$ ×2=4 $\text{[math]}$ ，
扇形DOF的面积是： $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ π，
△ADO的面积是 $\text{[math]}$ ×AD×OD=2 $\text{[math]}$ ，
大半圆的面积是 $\text{[math]}$ π×4²=16π，
∴阴影部分的面积是：S_大半圆-（S_扇形AOC-S_△AOC）-S_△ADO-S_扇形DOF
=16π-（ $\text{[math]}$ π-4 $\text{[math]}$ ）-2 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ π
=2 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ π．
故答案为：2 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ π．
点评：本题考查了切线性质，垂径定理，勾股定理，扇形面积，三角形的面积等知识点的综合运用，主要考查学生的计算能力，题目综合性比较强，有一定的难度．