题目内容
【题目】如图，已知抛物线y=－x2+bx+c与x轴交于点A(－1,0)和点B(3,0)，与y轴交于点C，连接BC交抛物线的对称轴于点E，D是抛物线的顶点．
（1）求此抛物线的解析式.
（2）若点P在第一象限内的抛物线上，且S△PAB=S△OEB，求点P的横坐标．
（3）将△OBE以点B为中心顺时针旋转，旋转角等于2∠OBC，设点E的对应点为点E'，点O的对应点为点O'，求直线O'E'与抛物线的交点坐标.
【答案】（1）
；（2）
；（3）
，
.
【解析】
（1）将A、B的坐标代入抛物线的解析式中，即可求出待定系数b、c的值，进而可得到抛物线的解析式；
（2）设P点坐标表示出S△PAB，利用B、C点坐标求出BC对应的表达式，从而求出E点坐标，表示出S△OEB，最后利用S△PAB=S△OEB建立方程求解即可；
（3）先根据∠OBC=45°算出旋转角，画出图形后，利用旋转性质可得到O'坐标，利用△EMB≌△E'NB，可得到E'坐标，从而求出直线表达式，最后联立二次函数表达式求交点即可.
解：（1）由点A（－1，0）和点B（3，0）得
，解得：
，
∴抛物线的解析式为；
（2）令x=0，则y=3，∴C（0，3），
∵
，
∴D（1，4）；
设线段BC所在直线的表达式为
，代入B（3，0），C（0，3）求得：
，
令x=1，则y=－1+3=2，
∴E（1，2），
设P（x，y）（x＞0，y＞0），则
，
，
∵S△PAB=S△OEB，
∴2y=3
∴
，即
，
解得：
，
（不合题意，舍去），
∴点P横坐标为
；
（3）由B（3，0），C（0，3）知，OC=OB，即△OBC为等腰直角三角形，
∴∠OBC=45°，
∴旋转角为90°，∠EBE'=90°，如图所示，
∴∠EBM=∠E'BN=45°，
又∠EMB=∠BNE'=90°，BE=BE'
∴△EMB≌△E'NB
∴E'N=EM=2，NB=MB=2，
∴E'（5，2）
∵O'B=OB=3，
∴O'（3，3），
根据E'（5，2），O'（3，3），求得直线O'E'的解析式为：
，
联立，得：
，解得：
，
∴交点坐标为
.
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