题目内容

【题目】如图,已知△ABC中,∠B=90°,AB=8cm,BC=6cm,P、Q是△ABC边上的两个动点,其中点P从点A开始沿A→B方向运动,且速度为每秒1cm,点Q从点B开始沿B→C→A方向运动,且速度为每秒2cm,它们同时出发,设出发的时间为t秒.

(1)出发2秒后,求PQ的长;
(2)从出发几秒钟后,△PQB第一次能形成等腰三角形?
(3)当点Q在边CA上运动时,求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间.

【答案】
(1)解:BQ=2×2=4cm,

BP=AB﹣AP=8﹣2×1=6cm,

∵∠B=90°,

PQ= = = =2


(2)解:BQ=2t,

BP=8﹣t

2t=8﹣t,

解得:t=


(3)解:①当CQ=BQ时(图1),则∠C=∠CBQ,

∵∠ABC=90°,

∴∠CBQ+∠ABQ=90°,

∠A+∠C=90°,

∴∠A=∠ABQ,

∴BQ=AQ,

∴CQ=AQ=5,

∴BC+CQ=11,

∴t=11÷2=5.5秒.

②当CQ=BC时(如图2),则BC+CQ=12

∴t=12÷2=6秒.

③当BC=BQ时(如图3),过B点作BE⊥AC于点E,

则BE= =

所以CE=

故CQ=2CE=7.2,

所以BC+CQ=13.2,

∴t=13.2÷2=6.6秒.

由上可知,当t为5.5秒或6秒或6.6秒时,

△BCQ为等腰三角形.


【解析】(1)根据点P、Q的运动速度求出AP,再求出BP和BQ,用勾股定理求得PQ即可;(2)设出发t秒钟后,△PQB能形成等腰三角形,则BP=BQ,由BQ=2t,BP=8﹣t,列式求得t即可;(3)当点Q在边CA上运动时,能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间有三种情况:①当CQ=BQ时(图1),则∠C=∠CBQ,可证明∠A=∠ABQ,则BQ=AQ,则CQ=AQ,从而求得t;②当CQ=BC时(如图2),则BC+CQ=12,易求得t;③当BC=BQ时(如图3),过B点作BE⊥AC于点E,则求出BE,CE,即可得出t.
【考点精析】通过灵活运用三角形的面积和勾股定理的概念,掌握三角形的面积=1/2×底×高;直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2即可以解答此题.

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