题目内容
【题目】已知抛物线与直线
交于
,B两点,与y轴交于点
.
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图1,直线AB交轴于点D,且
,求点B的坐标;
(3)如图2,当时,在x轴上有且只有一点P,使
,求k的值.
【答案】(1);(2)
;(3)
【解析】
(1)根据待定系数法求解即可;
(2)由推出AC=AD,过点A作
轴于点M,
轴于点N,证明
,得到
,从而得到AB的解析式,联立二次函数和一次函数,可得点B坐标;
(3)分别过A,B两点作轴于点D,
轴于点E,证明
,则
,设AB解析式为
,联立,解出
,得到点B坐标,设
,代入
,再令判别式为零,解出k值即可.
解:(1)抛物线与直线
交于
,B两点,与y轴交于点C(0,2),
∴c=2,将A(-1,-1)代入,
解得:b=2,
∴抛物线的表达式为:;
(2)∵,
∴,即
,
∴,
过点A作轴于点M,
轴于点N,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴AB的解析式为,
联立,
解得:,
(舍),
可求;
(3)分别过A,B两点作轴于点D,
轴于点E,
∵∠APB=90°,
∴∠APD+∠BPE=90°,而∠APD+∠PAD=90°,
∴∠BPE=∠PAD,而∠ADP=∠BEP,
则,
∴,
设AB解析式为,
联立
∴,
∴,
,
设,则
,
∴,当
轴上只有唯一点P时,
,
∴,
∴(舍),
.

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