Question

【题目】在△ABC中，AB=AC，∠BAC=60°，点E为直线AC上一点，D为直线BC上的一点，且DA=DE． 当点D在线段BC上时，如图①，易证：BD+AB=AE；
当点D在线段CB的延长线上时，如图②、图③，猜想线段BD，AB和AE之间又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并选择一种情况给予证明．

Answer 1

【答案】解；如图②中，
结论：BD+AE=AB．
理由：作EM∥AB交BC于M，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠C=∠BAC=60°，AB=BC=AC，
∴∠CEM=∠CAB=60°，∠CME=∠CBA=60°，
∴△CME是等边三角形，
∴CE=CM=EM，∠EMC=60°，
∴AE=BM，
∵DA=DE，
∴∠DAE=∠DEA，
∴∠BAC+∠DAB=∠C+∠EDM，
∴∠DAB=∠EDM，
∵∠ABD=180°﹣∠ABC=120°，∠EMD=180°﹣∠EMC=120°，
∴∠ABD=∠DME，
在△ABD和△DEM中，
，
∴△ABD≌△DEM，
∴DB=EM=CM，
∴DB+AE=CM+BM=BC=AB．
如图③中，

结论：BD﹣AE=AB．
理由：作EM∥AB交BC于M，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠C=∠BAC=60°，AB=BC=AC，
∴∠CEM=∠CAB=60°，∠CME=∠CBA=60°，
∴△CME是等边三角形，
∴CE=CM=EM，∠EMC=∠MEC=60°，
∴AE=BM，
∵DA=DE，
∴∠DAE=∠DEA，
∴∠C+∠ADC=∠MEC+∠EDDEM，
∴∠ADB=∠DEM，
∵∠ABD=180°﹣∠ABC=120°，∠EMD=180°﹣∠EMC=120°，
∴∠ABD=∠DME，
在△ABD和△DEM中，
，
∴△ABD≌△DME，
∴DB=EM=CM，
∴DB﹣AE=CM﹣BM=BC=AB．
【解析】图②中，论：BD+AE=AB，作EM∥AB交BC于M，先证明△EMC是等边三角形得CE=CM，AE=BM，再证明△ABD≌△DEM，得DB=EM=MC由此可以对称结论．图③中，结论：BD﹣AE=AB，证明方法类似．