Question

如图，点D在⊙O直径AB的延长线上，CD与⊙O相切于C，且AC=CD．
（1）求∠A的度数；
（2）若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

分析：（1）首先连接OC，由CD与⊙O相切于C，可得OC⊥CD，设∠A=x°，又由等腰三角形的性质与圆周角定理，即可得∠BOC=2x°，∠D=∠A=x°，继而可得3x=90，继而求得∠A的度数；
（2）由含30°角的直角三角形的性质，可求得OD与CD的长，然后由S_阴影=S_△COD-S_扇形BOC，即可求得答案．

解答：解：（1）连接OC，
∵CD与⊙O相切于C，
∴OC⊥CD，
设∠A=x°，
∵AC=CD，
∴∠A=∠D=x°，
又∵∠COD=2x°，
∴∠D+∠COD=3x°=90°，
解得：x=30，
∴∠A=30°；

（2）由（1）得∠COD=60°，∠D=30°，
∴OD=2OC=4，
∴CD=

OD2-OC2

=2

3

，
∴S_阴影=S_△COD-S_扇形BOC=

1

2

×2×2

3

-

60π×22

360

=2

3

-

2

3

π．

点评：此题考查了切线的性质、勾股定理、扇形的面积以及含30°的直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．