Question

如图，直线与线段相交于点，点和点在直线上，且.

（1）如图1所示，当点与点重合时 ，且，请写出与的数量关系和位置关系；
（2）将图1中的绕点顺时针旋转到如图2所示的位置，，（1）中的与的数量关系和位置关系是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）将图2中的拉长为的倍得到如图3，求的值．

Answer 1

（1）；（3）

试题分析：（1）根据点与点重合时的图形特征即可作出判断；
（2）过点作于，过点作于，证得≌，即得 ，由可得，即得，延长与的延长线相交点，即得，再结合即可作出判断；
（3）过点作于,过点作于，易证∽，根据相似三角形的性质可得，由（2）知，即可求得结果．

（1）；
（2）仍然成立.
过点作于，过点作于
∴
∵，
∴≌
∴ 
∵
∴
∴ 
延长与的延长线相交点
∴
又∵
∴
∴；
（3）过点作于,过点作于
易证∽
∴
∵，
∴．
由（2）知．
 ．
点评：此类问题是初中数学的重点和难点，在中考中极为常见，一般以压轴题形式出现，难度较大.