题目内容

如图所示，边长为2的等边三角形OBA的顶点A在x轴的正半轴上，B点位于第一象限．将△OAB绕点O顺时针旋转30°后，得到△OB′A′，点A′恰好落在双曲线y= $数学公式$ （k≠0）上．
（1）在图中画出△OB′A′；
（2）求双曲线y= $数学公式$ （k≠0）的解析式；
（3）等边三角形OB′A′绕着点O继续按顺时针方向旋转______度后，A′点再次落在双曲线上？（直接将答案填写在横线上即可，不需要说明理由）

解：（1）画图如图所示；

（2）设A′B′与x轴交于点M，
由题意可知：OA=2，∠MOA′=30°
∴AM=1，
由勾股定理得：OM= $\text{[math]}$ ，
∴A′点的坐标为（ $\text{[math]}$ ，-1），
∵A′恰好落在双曲线y= $\text{[math]}$ （k≠0）上，
∴k=- $\text{[math]}$
∴双曲线的解析式为：y=- $\text{[math]}$ ；

（3）30．
分析：（1）旋转中心为O点，旋转角为30°，旋转方向为顺时针，由此画出图形；
（2）根据三角形的轴对称性及所画图形，由勾股定理求OM，MA′，确定A′的坐标，可求双曲线解析式；
（3）双曲线y=- $\text{[math]}$ 关于直线y=-x轴对称，可求A′（ $\text{[math]}$ ，-1）点关于直线y=-x的轴对称点，再判断这个点是否在双曲线上．
点评：本题考查了反比例函数的综合运用，旋转的性质．关键是通过坐标系里的图形旋转，特殊三角形的性质，求点的坐标，确定双曲线的解析式．