题目内容
在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=4cm，实验操作：把一等腰直角三角尺45°角的顶点（记为点D），放在BC边上滑动（不与B，C重合），让该角的一边始终过点A，另一边交AC于点E，选取运动过程中的两个瞬间，用量角器分别测出∠BDA与∠CED的大小，并填入下表：| ∠BDA | ∠CED | |
| 第一次测量结果 | ||
| 第二次测量结果 |
（2）设BD=x，AE=y，试求出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）当点D在BC边上滑动时，△ADE能否成为等腰三角形？若能，求出点D的位置；若不能，请说明理由．（图1供实验操作用，图2备用）
分析：（1）由三角形的外角的定义、三角形的内角和、等腰直角三角形的性质解决第一问；
（2）证明△ABD和△DCE相似，利用三角形相似的性质可以求出y关于x的函数关系式；
（3）利用△ABD和△DCE始终相似，分AD=AE，AD=DE，AE=DE三种情况讨论，问题得以解决．
（2）证明△ABD和△DCE相似，利用三角形相似的性质可以求出y关于x的函数关系式；
（3）利用△ABD和△DCE始终相似，分AD=AE，AD=DE，AE=DE三种情况讨论，问题得以解决．
解答：解：（1）猜想∠BDA=∠CED．
证明：∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠C=45°，
∵∠ADC=∠B+∠1=45°+∠2，
∴∠1=∠2，
∵∠BDA=180°-∠1-∠B，∠CED=180°-∠2-∠C，
∴∠CED=∠BDA；
（2）由（1）知：∠BDA=∠CED，∠B=∠C，
∴△ABD∽△DCE，
∴
=
，
即
=
，
∴y=
x2-
x+4（0＜x＜4
）．
（3）假设能，分三种情况讨论：
①当AD=AE时，∠AED=∠ADE=45°，所以∠DAE=90°，
此时点D与B重合，这与已知矛盾，所以这种情况不存在；
②当AD=DE时，由△ABD∽△DCE得，
=
=1，
∴
=1，
即4-（
x2-
x+4）=x，
解得x1=4
-4，x2=0（舍去），
即BD=4
-4；
③当AE=DE时，∠DAE=∠ADE=45°，又∠BAC=90°，
∴∠1=∠DAE=45°，
∴BD=
BC=2
；
综上所知当BD=4
-4或2
时，△ADE能成为等腰三角形．
证明：∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠C=45°，
∵∠ADC=∠B+∠1=45°+∠2，
∴∠1=∠2，
∵∠BDA=180°-∠1-∠B，∠CED=180°-∠2-∠C，
∴∠CED=∠BDA；
（2）由（1）知：∠BDA=∠CED，∠B=∠C，
∴△ABD∽△DCE，
∴
| BD |
| CE |
| AB |
| DC |
即
| x |
| 4-y |
| 4 | ||
4
|
∴y=
| 1 |
| 4 |
| 2 |
| 2 |
（3）假设能，分三种情况讨论：
①当AD=AE时，∠AED=∠ADE=45°，所以∠DAE=90°，
此时点D与B重合，这与已知矛盾，所以这种情况不存在；
②当AD=DE时，由△ABD∽△DCE得，
| AD |
| DE |
| BD |
| CE |
∴
| x |
| 4-y |
即4-（
| 1 |
| 4 |
| 2 |
解得x1=4
| 2 |
即BD=4
| 2 |
③当AE=DE时，∠DAE=∠ADE=45°，又∠BAC=90°，
∴∠1=∠DAE=45°，
∴BD=
| 1 |
| 2 |
| 2 |
综上所知当BD=4
| 2 |
| 2 |
点评：本题考查了三角形的外角的定义、三角形的内角和、等腰直角三角形的性质、三角形相似的判定与性质，运用等腰三角形的性质渗透分类讨论思想．
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| A、asinA | ||
B、
| ||
| C、acosA | ||
D、
|
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