Question

如图1，在正方形ABCD内有一点P，PA=

5

，PB=

2

，PC=1，求∠BPC的度数．
【分析问题】根据已知条件比较分散的特点，我们可以通过旋转变换将分散的已知条件集中在一起，于是将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到了△BP′A（如图2），然后连结PP′．
【解决问题】请你通过计算求出图2中∠BPC的度数；
【比类问题】如图3，若在正六边形ABCDEF内有一点P，且PA=2

13

，PB=4，PC=2．
（1）∠BPC的度数为

120°

； 
（2）直接写出正六边形ABCDEF的边长为

2

7

．

Answer 1

分析：【解决问题】如图4，将△PBC逆时针旋转90°得△P′BA，连接PP′，就可以求得∠P′BP=90°，P′B=PB，求出∠BP′P的度数，由勾股定理就可以求出PP′的值，在△P′AP中由勾股定理的逆定理可以得出△P′AP是直角三角形，求出∠PP′A的度数，从而可以求出结论；
（1）仿照【分析】中的思路，将△BPC绕点B逆时针旋转120°，得到了△BP′A，然后连结PP′．如图所示，根据旋转的性质可得：△PBC≌△P′BA，从而得出△BPP′为等腰三角形，PB=P′B=4，PC=P′A=2，∠BPC=∠BP′A，由∠ABC=120°，就有∠PBP′=120°，∠BP′P=30°，可以求得PP′=4

3

，由勾股定理的逆定理就可以求出∠AP′P=90°从而得出结论；
（2）延长A P′作BG⊥AP′于点G，在Rt△P′BG中，P′B=4，∠BP′G=60°，就可以得出P′G=2，BG=2

3

，则AG=P′G+P′A=2+2=4，在Rt△ABG中，根据勾股定理得AB=2

7

．

解答：解：【解决问题】如图4，将△PBC逆时针旋转90°得△P′BA，连接PP′，
∴△AP′B≌△CPB，
∴P′B=PB=

2

，P′A=PC=1，∠1=∠2．∠AP′B=∠BPC．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠1+∠3=90°，
即∠P′BP=90°．
∴∠BP′P=45°．
在Rt△P′BP中，由勾股定理，得
PP′²=4．
∵P′A=1，AP=

5

∴P′A²=1，AP²=5，
∴P′A²+PP′²=AP²，
∴△P′AP是直角三角形，
∴∠AP′P=90°．
∴∠AP′B=45°+90°=135°，
∴∠BPC=135°；

（1）仿照【分析】中的思路，将△BPC绕点B逆时针旋转120°，得到了△BP′A，连结PP′．如图5，
∴△PBC≌△P′BA，
∴P′B=PB=4，PC=P′A=2，∠BPC=∠BP′A，
∴△BPP′为等腰三角形，
∵∠ABC=120°，
∴∠PBP′=120°，
∴∠BP′P=30°，
作BG⊥PP′于G，
∴∠P′GB=90°，PP′=2P′G．
∵P′B=PB=4，∠BP′P=30°，
∴BG=2，
∴P′G=2

3

∴PP′=4

3

，
在△APP′中，∵PA=2

13

，PP′=4

3

，P′A=2，
∴PA²=52，PP′²=48，P′A²=4，
∴P′A²+P′P²=PA²，
∴△PP′A是直角三角形，
∴∠AP′P=90°．
∴∠BPC=∠BP′A=30°+90°=120°．

（2）延长A P′作BG⊥AP′于点G，如图6，
在Rt△P′BG中，P′B=4，∠BP′G=60°，
∴P′G=2，BG=2

3

，
∴AG=P′G+P′A=2+2=4，
在Rt△ABG中，根据勾股定理得AB=2

7

．
故答案为：120°；2

7

．

点评：本题是一道四边形的综合试题，考查了旋转在正多边形中的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，勾股定理的逆定理的运用，等腰三角形的性质的运用，解答本题时运用等腰三角形的性质解答是关键