题目内容
(2004•重庆)如图,在⊙O的内接△ABC中,AB=AC,D是⊙O上一点,AD的延长线交BC的延长线于点P.(1)求证:AB2=AD•AP;
(2)若⊙O的直径为25,AB=20,AD=15,求PC和DC的长.

【答案】分析:(1)欲证AB2=AD•AP,需证AC2=AD•AP,因此只需证△ADC∽△ACP即可;
(2)由(1)的结论可求出AP的长,过点A作直径AE交BC于点F,用相交弦定理的推论可求出AF的长,进而可求出BF、CF的长.在Rt△APF中,已知AP、AF的长,可用勾股定理求出PF的长,进而可求出PC的长,根据割线定理,可求出PD的长.
解答:(1)证明:∵∠ADC+∠B=180°,∠B=∠ACB
∴∠ACP+∠ACB=∠ACP+∠B=180°
∴∠ADC=∠ACP
∴△ADC∽△ACP
∴
,即
所以AB2=AD•AP;
(2)解:过点A作直径AE交BC于点F.
∵△ABC是等腰三角形,
∴AE垂直平分BC
设AF=a,则EF=25-a,
由BF2=AF•EF,得400-a2=a(25-a)
所以AF=a=16,BF=FC=12.
方法1:
由(1)AB2=AD•AP得:
在Rt△AFP中,
∴PC=PF-FC=
=
又由△PCD∽△PAB得:
∴
;
方法2:(前面部分给分相同)连接BE、EC、BD.
∵AE是直径,
∴∠ABE=90°,且BE=
∴EC=BE=15,又已知AD=15,∴AD=EC
∴DC∥AE,即DC⊥BC,则BD是直径
∴DC=
在Rt△PCD中,PD=PA-AD=
=
∴PC=
.
点评:本题考查了相似三角形的判定和性质、圆内接四边形的性质、等腰三角形的性质等知识的综合应用.综合性强,难度较大.
(2)由(1)的结论可求出AP的长,过点A作直径AE交BC于点F,用相交弦定理的推论可求出AF的长,进而可求出BF、CF的长.在Rt△APF中,已知AP、AF的长,可用勾股定理求出PF的长,进而可求出PC的长,根据割线定理,可求出PD的长.
解答:(1)证明:∵∠ADC+∠B=180°,∠B=∠ACB
∴∠ACP+∠ACB=∠ACP+∠B=180°
∴∠ADC=∠ACP
∴△ADC∽△ACP
∴


所以AB2=AD•AP;
(2)解:过点A作直径AE交BC于点F.

∵△ABC是等腰三角形,
∴AE垂直平分BC
设AF=a,则EF=25-a,

由BF2=AF•EF,得400-a2=a(25-a)
所以AF=a=16,BF=FC=12.
方法1:
由(1)AB2=AD•AP得:

在Rt△AFP中,

∴PC=PF-FC=


又由△PCD∽△PAB得:

∴

方法2:(前面部分给分相同)连接BE、EC、BD.
∵AE是直径,
∴∠ABE=90°,且BE=

∴EC=BE=15,又已知AD=15,∴AD=EC
∴DC∥AE,即DC⊥BC,则BD是直径
∴DC=

在Rt△PCD中,PD=PA-AD=


∴PC=

点评:本题考查了相似三角形的判定和性质、圆内接四边形的性质、等腰三角形的性质等知识的综合应用.综合性强,难度较大.

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