题目内容

某外语学校在圣诞节要举行汇报演出,需要准备一些圣诞帽,为了培养学生的动手能力,学校决定自己制作这些圣诞帽.如果圣诞帽(圆锥形状)的规格是母线长42厘米,底面直径为16厘米.
(1)求圣诞帽的侧面展开图(扇形)的圆心角的度数(精确到度);
(2)已知A种规格的纸片能做3个圣诞帽,B种规格的纸片能做4个圣诞帽,汇报演出需要26个圣诞帽,写出A种规格的纸片y张与B种规格的纸片x张之间的函数关系式及其x的最大值与最小值;若自己制作时,A、B两种规格的纸片各买多少张时,才不会浪费纸张?
(3)现有一张边长为79厘米的正方形纸片,它最多能制作几个这种规格的圣诞帽(圣诞帽的粘接处忽略不计).请在比例尺为1:15的正方形纸片上画出圣诞帽的侧面展开图的裁剪草图,并利用所学的数学知识说明其可行性.
(1)∵底面直径为16厘米,
∴圆锥的底面周长为16πcm,
∵圣诞帽的侧面展开图是一个扇形,
∴扇形的弧长是16π,
设扇形是圆心角为n,
nπ×42
180
=16π,
解得n≈69,
则扇形的圆心角是69°;

(2)y=-
4
3
x+
26
3
,由y≥0,得x的最大值是
13
2
,最小值是0.
显然,x、y必须取整数,才不会浪费纸张.
由x=1时,y=
22
3
;x=2时,y=6;x=3时,y=
14
3

x=4时,y=
10
3
x=5时,y=2;x=6时,y=
2
3

故A、B两种规格的纸片各买6张、2张或2张、5张时,才不会浪费纸张.
(3)正方形的面积为79×79=6241,圆锥的侧面展开图的面积为π×8×42≈1055,
∴可以截的扇形的个数为:6241÷1055≈5,但画出草图后可得只有4个.
裁剪草图,如图

设相邻两个扇形的圆弧相交于点P,则PD=PC,
过点P作DC的垂线PM交DC于M,
则CM=
1
2
DC=
1
2
×79=39.5,又CP=42,
cos∠MCP=
CM
CP
=
39.5
42

∴∠MCP=20°<(90°-69°),
又42+42<79
2
,所以这样的裁剪草图是可行的.
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