Question

已知：如图所示，点C在线段AB上，分别以AC、BC为一边作为等边△ACM和等边△BCN，连接AN、BM．
（1）求证：AN=BM；
（2）设AN、BM相交于点D，求证：∠ADB=120°；
（3）如果A、C、B三点不在同一直线上，那么AN=BM是否仍然成立？如果成立，加以证明；如果不成立，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据等边三角形的性质得到∠ACM=∠BCN=60°，CA=CM，CN=CB，可得到∠MCN=60°，则∠ACN=∠BCM=120°，然后根据“SAS”可证明△ACN≌△MCB，则AN=BM；
（2）由△ACN≌△MCB得到∠ANC=∠MBC，利用三角形外角性质得∠BCN=∠NAC+∠ANC=60°，则∠MBCC+∠NAC=60°，然后根据三角形内角和定理可计算出∠ADB=180°-（∠DAB+∠DBA）=180°-60°=120°；
（3）与（1）的证明方法一样，还是有∠ACN=∠BCM，不等于120°，同样可证得△ACN≌△MCB，得到AN=BM．

解答：（1）证明：∵△ACM和△BCN都是等边三角形，
∴∠ACM=∠BCN=60°，CA=CM，CN=CB，
∴∠MCN=60°，
∴∠ACN=∠BCM=120°，
∵在△ACN和△MCB中，

CA=CM ∠ACN=∠MCB CN=CB

，
∴△ACN≌△MCB（SAS），
∴AN=BM；

（2）证明：∵△ACN≌△MCB，
∴∠ANC=∠MBC，
∵∠BCN=∠NAC+∠ANC=60°，
∴∠MBCC+∠NAC=60°
∴∠ADB=180°-（∠DAB+∠DBA）=180°-60°=120°；

（3）解：AN=BM仍然成立．理由如下：
∵△ACM和△BCN都是等边三角形，
∴∠ACM=∠BCN=60°，CA=CM，CN=CB，
∴∠ACM+∠MCN=∠BCN+∠MCN，
∴∠ACN=∠BCM，
∵在△ACN和△MCB中，

CA=CM ∠ACN=∠MCB CN=CB

，
∴△ACN≌△MCB（SAS），
∴AN=BM．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质：有两组边对应相等，且它们所夹的角也相等，那么这两个三角形全等；全等三角形的对应边相等，对应角相等．也考查了等边三角形的性质．