题目内容

如图1，在Rt△A′OB′中，∠B′A′0=90°，A′，B′两点的坐标分别为（2，-1）和（0，-5），将A′0B′绕点O逆时针方向旋转90°，使OB’落在x轴正半轴上，得△AOB，点A′的对应点是A，点B’的对应点是B．
（1）写出A，B两点的坐标，并求直线AB的解析式；
（2）如图2，将△A0B沿垂直于x轴的线段CD折叠，（点C在x轴上，且不与点B重合，点D在线段AB上），使点B落在x轴上，对应点为点E，设点C的坐标为（x，0）．
①当x为何值时，线段DE平分△AOB的面积；
②是否存在这样的点使得△AED为直角三角形？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
③设△CDE与△AOB重叠部分的面积为S，直接写出S与点C的横坐标x之间的函精英家教网数关系式（包括自变量x的取值范围）．
分析：（1）根据旋转的性质可知：A′的横坐标实际是A点的纵坐标，A′的纵坐标的绝对值实际是A点横坐标，由此可得出A点的坐标，同理可求出B点的坐标．已知了A、B的坐标，可用待定系数法求出直线AB的解析式．
（2）①当E点与O重合时，不难得出△EDB的面积＞
1
2
△AOB的面积，因此当线段DE平分△AOB的面积时，E在O点右侧．可用x表示出BC，CD的值，进而可得求出△BDE的面积，然后根据其面积为△AOB面积的一半可得出一个关于x的方程，据此可求出x的值．
②本题要分情况进行讨论：
一：当∠ADE=90°时，∠EDB=90°，显然不成立；
二：当∠EAD=90°时，E，O重合，那么BE=BO，据此可求出x的值；
三：当∠AED=90°时，可过A作x轴的垂线，通过构建相似三角形来求出x的值．
③本题要分情况进行讨论：
一：当
5
2
≤x＜5时，E在△AOB内，重合部分的面积就是△CDE的面积；
二：2≤x＜
5
2
时，E在△AOB外部，重合部分是个不规则的四边形，设DE与OA交于P，那么重合部分的面积可用△CDE的面积减去△EOP的面积来求得．
综上所述，即可求出不同x的取值范围内S，x的函数关系式．
解答：解：（1）A（1，2），B（5，0），
设直线AB的解析式为y=kx+b，则有：
k+b=2
5k+b=0
，
解得：
k=-
1
2
b=
5
2
，
∴直线AB的解析式为y=-
1
2
x+
5
2
．

（2）①当x=
5
2
时，CD=y=
5-x
2
=
5
4
，S△DEB=
1
2
×5×
5
4
=
25
8
＞3，
∴点E在O的右边．
由题意，得：S△DEB=
1
2
×2（5-x）×
5-x
2
=
5
2
，x=5+
5
（舍去），
∴x=5-
5
．精英家教网
②当∠ADE=90°时，得∠DBE=∠DEB=45°，舍去，
当∠EAD=90°时，点E与点O重合，得x=
5
2
．
当∠AED=90°时，作AH⊥OB于H，证明△AHE∽△DCE，可得HE=1．
∴OE=2．
∴2+2（5-x）=5，x=
7
2
．

③当
5
2
≤x＜5时，S=
1
2
×（5-x）×
5-x
2
=
1
4
（x-5）2；精英家教网
当2≤x＜
5
2
时，设DE、OA交于P，作PM⊥OB与M，设PM=h，则OM=
h
2
，EM=2h，OE=5-2x．
∴5-2x+
h
2
=2h，h=
2
3
（5-2x），
∴S=
1
2
×（5-x）×
5-x
2
-
1
2
×（5-2x）×
2
3
（5-2x）=-
13
12
x2+
25
6
x-
25
12
．
点评：本题主要考查了二次函数解析式的确定、图形的翻折变换、图形的面积求法等知识及综合应用知识、解决问题的能力．
练习册系列答案
相关题目
精英家教网如图已知在Rt△ABC中，∠BAC=90°，E在斜边BC上，CE=CA，求证：∠BAE=
12
∠ACB．
（1）操作：如图1，在线段AB所在的直线上取一点O（O点在线段外），将线段AB绕点O旋转一周，所得到的图形是个圆环（如图2），此圆环的面积就是线段AB所扫过的面积，已知AB=2，OA=1，则线段AB扫过的面积为
 
．
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（2）如图3，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=2，若将△ABC绕点A旋转一周，那么边BC扫过的图形为
 
，面积为
 
．
（3）若将图3中的Rt△ABC绕点C旋转一周，则边AB扫过的图形是什么？面积为多少？
（结果中保留π）
如图1，在Rt△ABC中，AB=AC=3，BD为AC边的中线，AB1⊥BD交BC于B1，B1A1⊥AC于A1．精英家教网
（1）求AA1的长；
（2）如图2，在Rt△A1B1C中按上述操作，则AA2的长为
 
；
（3）在Rt△A2B2C中按上述操作，则AA3的长为
 
；
（4）一直按上述操作得到Rt△An-1Bn-1C，则AAn的长为
 
．
如图1和图2，在20×20的等距网格（每格的宽和高均是1个单位长）中，Rt△ABC从点A与点M重合的位置开始，以每秒1个单位长的速度先向下平移，当BC边与网格的底部重合时，Rt△ABC停止移动．设运动时间为x秒，△QAC的面积为y．
（1）如图1，当Rt△ABC向下平移到Rt△A1B1C1的位置时，请你在网格图中画出：
①Rt△A1B1C1关于直线QN成轴对称的图形；
②Rt△A1B1C1关于点O成中心对称的图形．
（2）如图2，在Rt△ABC向下平移的过程中，请你求出y与x的函数关系式．
数学学习总是如数学知识自身的生长历史一样，往往起源于猜测中的发现，我们所发现的不一定对，但是当利用我们已有的知识作为推理的前提论证之后，当所发现的在逻辑上没有矛盾之后，就可以作为新的推理的前提，数学中称之为定理．
（1）尝试证明：
等腰三角形的探索中借助折纸发现：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．但是当时并未说明这个结论的合理．现在我们学些了矩形的判定和性质之后，就可以解决这个问题了．如图1若在Rt△ABC中CD是斜边AB的中线，则CD=
12
AB，你能用矩形的性质说明这个结论吗？请说明．
（2）迁移运用：利用上述结论解决下列问题：
①如图2所示，四边形ABCD中，∠BAD=90°，∠DCB=90°，EF分别是BD、AC的中点，请你说明EF与AC的位置关系．
②如图3所示，?ABCD中，以AC为斜边作Rt△ACE，∠AEC=90°，且∠BED=90°，试说明平行四边形ABCD是矩形．

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