Question

【题目】已知二次函数y=x2+2（m+l）x﹣m+1．以下四个结论：
①不论m取何值，图象始终过点（ ，2 ）；
②当﹣3＜m＜0时，抛物线与x轴没有交点：
③当x＞﹣m﹣2时，y随x的增大而增大；
④当m=﹣ 时，抛物线的顶点达到最高位置．
请你分别判断四个结论的真假，并给出理由．

Answer 1

【答案】解：①二次函数y=x2+2（m+l）x﹣m+1=（x+1）2﹣（2x﹣1）m，当x= 时，y= ，故可知抛物线总经过点（ ，2 ），故①正确，②令y=x2+2（m+l）x﹣m+1=0，求△=4（m+1）2+4m﹣4=4m2+12m，当﹣3＜m＜0时，4m2+12m＜0，抛物线与x轴没有交点，故②正确，③抛物线开口向上，对称轴x=﹣ =﹣m﹣1，所以当x＞﹣m﹣1时，y随x的增大而增大，故③错误，④y=x2+2（m+l）x﹣m+1=（x+m+1）2﹣m2﹣3m，抛物线的顶点坐标为（﹣m﹣1，﹣m2﹣3m），因为顶点的纵坐标y=﹣m2﹣3m=﹣（m+ ）2+ ，所以当m=﹣ 时，抛物线的顶点达到最高位置．故④正确，正确的结论有①②④．
【解析】①把二次函数y=x2+2（m+l）x﹣m+1转化成y═（x+1）2﹣（2x﹣1）m，令x= ，y= ，判断出①；②令y=x2+2（m+l）x﹣m+1=0，求出根的判别式△在﹣3＜m＜0时小于0，判断②；③求出抛物线的对称轴，即可判断③；④根据顶点坐标式求出抛物线的顶点，然后根据顶点纵坐标判断④．
【考点精析】本题主要考查了二次函数的性质的相关知识点，需要掌握增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小才能正确解答此题．