Question

已知：如图，以定线段AB为直径作半圆O，P为半圆上任意一点（异于A、B），过点P作半圆O的切线分别交过A、B两点的切线于D、C，AC、BD相交于N点，连接ON、NP．下列结论：①四边形ANPD是梯形；②ON=NP；③PA为∠NPD的平分线．其中一定成立的是（　　）

• A、①②
• B、②③
• C、①③
• D、①

Answer 1

分析：①根据切线长定理，运用比例线段判断AD∥NP；
②没有依据；
③根据AD=DP，AD∥NP求解．

解答：解：①因为DA、DP、CP、CB为⊙O切线，故DA⊥AB，CB⊥AB．
于是AD∥BC，AD=DP，CB=CP．
由于△AND∽△CNB，所以

CP

DP

=

CB

AD

=

CN

NA

，
故NP∥AD，四边形ANPD是梯形；
②不能确定；
③因为DA=DP，所以∠DAP=∠DPA．
因为NP∥AD，所以∠NPA=∠DAP．
所以∠DPA=∠NPA．
PA为∠NPD的平分线．
故选C．

点评：此题难度较大，综合考查了相似三角形的性质，切线的性质及平行线分线段成比例定理，对同学们的推理能力有较高要求．