题目内容

13、如图所示,平行四边形ABCD中,AE、CF分别是∠BAD、∠BCD的平分线,根据现有的图形,请添加一个条件,使四边形AECF为菱形,则添加的一个条件可以是
AE=AF或AC⊥EF或∠EAC=∠ECA
.(只要写出一个即可,图中不能再添加别的“点”或“线”)
分析:菱形的判定方法有三种:①定义:一组邻边相等的平行四边形是菱形;②四边相等;③对角线互相垂直平分的四边形是菱形.根据平行四边形的判定可得四边形AECF是平行四边形,由平行四边形的性质知,对角线互相平分,又对角线互相平分且垂直的四边形是菱形,可得:当AC⊥EF时,四边形AECF是菱形.
解答:证明:∵AD∥BC,
∴∠EAD=∠AEB,
∵AE是∠BAD的平分线,
∴∠BAE=EAD,
∴∠BAE=∠AEB,
∴AB=BF,
同理ED=CD,
∵AD=BC,AB=CD,
∴AE=CE,
又∵AF∥CE,
∴四边形AECF是平行四边形,
∵对角线互相平分且垂直的四边形是菱形,
则添加的一个条件可以是:AC⊥EF.
故答案为:AC⊥EF(或AE=AF或∠EAC=∠ECA).
点评:本题考查了菱形的判定,利用角的平分线的性质和平行四边形的性质求解.
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