题目内容
【题目】如图1，抛物线
与直线
（
为常数
,）交于A,B两点，直线
交
轴于点C，点A的坐标为
;
（1）若
，则A点的坐标为__________，点B的坐标为____________
（2）已知点
，抛物线
与线段
有两个公共点，求
的取值范围；
（3）①如图1，求证: 
②如图2，设抛物线的顶点为F，直线交抛物线的对称轴于点
，直线
（
为常数
,）经过点A，并交抛物线的对称轴于点E，若
（
为常数）则的值是否发生变化？若不变，请求出的值；若变化，请说明理由.
【答案】（1）
；
；（2）
；（3）①见解析，②P＝1不变
【解析】
（1）将a＝1，m＝3，代入y1，y2及点A，求出y1和y2，根据函数图象上点的坐标特征及函数图象交点坐标的求法求解即可；
（2）要使抛物线l1与线段MN有两个公共点，需要满足x＝0时，y≤4；x＝3时，y≤4，据此列不等式解出a即可；
（3）①通过A（m＋2，n）代入y1，y2求得B的坐标，再过点A，点B作x轴垂线，根据平行线分线段成比例定理，通过计算
得到
的值即可解决问题；
②已知点E的横坐标为x＝2，则可以代入y3求得点E的坐标为（2，am2），过点A，点B作AG⊥FD于G，BH⊥FH于H，由①中点A，点B的坐标可求得tan∠AED＝tan∠BFD，即可得P为定值为1．
解：（1）把a＝1，m＝3，代入y1，y2得：
，
，
∵点A（m＋2，n）
∴把A（1，n）代入y1得：
，
即A（1，9），
将点A代入y2得：9＝3（12）＋b，解得：b＝18，
故y2＝3（x2）18，
∵y1与y2交于A、B两点，
∴3（x2）18＝（x2）2，
解得：x＝1或x＝8，
将x＝8代入y1得，y1＝（82）2＝36，
故B的坐标为（8，36），
故答案为：（1，9），（8，36）；
（2）由图象可知a＜0，要使抛物线l1与线段MN有两个公共点，
则
，解得：a≤4；
（3）①将A（m＋2，n）代入y1得n＝am2，
同理，再将A（m＋2，am2）代入y2得b＝2am2，即y2＝am（x2）＋2am2，
令y2＝0，得点C坐标为（2m＋2，0）
∵y1与y2交于
∴a（x2）2＝am（x2）＋2am，
可令t＝x2，
又∵a≠0，
∴原方程可化为：at2＝amt＋2am，即t2＋mt2m＝0，
解得t＝m或t＝2m，
∴x2＝m或x2＝2m，
得x＝m＋2或x＝2m＋2，
将x＝2m＋2代入y1得y1＝a（2m＋22）2＝4am2，
故点B的坐标为（2m＋2，4am2）
分别过点A、B作x轴的垂线AM，BN．如图1，
∵AM⊥x轴，BN⊥x轴，
∴AM∥BN
∴
，
∵CM＝2m＋2（m＋2）＝m，MN＝（2m＋2）（m＋2）＝3m，
∴
，
∴AB＝3AC；
②P值不变，
理由：由①知A（m＋2，am2），代入y3得，am2＝2am（m＋22）＋d，
解得d＝am2，
则y3＝2am（x2）am2，
∵y3与对称轴x＝2交于点E，
∴点E的纵坐标为y3＝2am（22）am2＝am2，
∴点E的坐标为（2，am2），
如图2，过点A，点B作AG⊥FD于G，BH⊥FH于H，
∵点B坐标为（2m＋2，4am2），
∴BH＝|2m＋22|＝|2m|，FH＝|4am2|，AG＝|m＋22|＝|m|，EG＝|am2am2|＝|2am2|，
∴tan∠AED＝
，tan∠BFD＝
，
∴tan∠AED＝tan∠BFD
∴p＝1不变．
【题目】某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．假定每位顾客购买商品的可能性相同．
商品 顾客人数 | 甲 | 乙 | 丙 | 丁 |
100 | √ | × | √ | √ |
217 | × | √ | × | √ |
200 | √ | √ | √ | × |
300 | √ | × | √ | × |
85 | √ | × | × | × |
98 | × | √ | × | × |
（1）估计顾客同时购买乙和丙的概率为__________．
（2）如果顾客购买了甲，并且同时也在乙、丙、丁中进行了选购，则购买__________（填乙、丙、丁）商品的可能性最大．
