题目内容
【题目】如图是一个桌面会议话筒示意图，中间BC部分是一段可弯曲的软管，在弯曲时可形成一段圆弧，设圆弧所在圆的圆心为O，线段AB，CD均与圆弧相切，点B，C分别为切点，已知AB的长10 cm，CD的长为25.2 cm．
(1)如图①，若话筒弯曲后CD与桌面AM平行，此时CD距离桌面14 cm，求弧BC的长度(结果保留π)；
(2)如图②，若话筒弯曲后弧BC所对的圆心角度数为60°，求话筒顶端D到桌面AM的距离(结果保留一位小数)．(参考数据：
≈1.73)
【答案】（1）2π；（2）27.8 cm
【解析】
（1）根据线段AB，CD均与圆弧相切，CD距离桌面14cm，AB的长为10cm，可得半径OC为4cm．再根据弧长公式即可求得弧BC的长度；
（2）过点C作CN⊥DM于点N，得矩形CGHN，则CN∥OB，得∠OCN=∠BOC=60°，根据弧长公式求出半径，进而可求CG的长，即可求得D到桌面AM的距离．
解：(1)如图①，∵线段AB，CD均与圆弧相切，
∴OB⊥AB，OC⊥CD，∴CD∥OB∥AM，
∴∠BOC=∠OCD=90°．
∵CD距离桌面14 cm，AB的长为10 cm，
∴半径OC为4 cm．
∴弧BC的长度为
=2π(cm)．
(2)如图②，过点C作CN⊥DM于点N，则CN∥OB．
∴∠OCN=∠BOC=60°．
∵∠OCD=90°，
∴∠NCD=30°，
∴DN=
CD=×25．2=12．6(cm)．
过点C作CG⊥OB于点G．
∵弧BC的长度为2π cm，
∴2π=
．
∴OB=OC=6 cm，
∴CG=OC·sin60°=6×
=3
≈5．2(cm)．
∴DM=DN+CG+AB=12．6+5．2+10=27．8(cm)．
故话筒顶端D到桌面AM的距离是27.8 cm．
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