Question

【题目】已知抛物线y=ax2﹣2anx+an2+n+3的顶点P在一条定直线l上．

（1）直接写出直线l的解析式；

（2）对于任意非零实数a，存在确定的n的值，使抛物线与x轴有唯一的公共点，求此时n的值；

（3）当点P在x轴上时，抛物线与直线l的另一个交点Q，过点Q作x轴的平行线，交抛物线于点A，过点Q作y轴的平行线，交x轴于点B，求的值或取值范围．

Answer 1

【答案】（1）y=x+3；（2）﹣3；（3）2

【解析】

（1）先把抛物线解析式化成顶点式，确定出顶点坐标，即可得出结论；

（2）令抛物线中的y=0用一元二次方程根的判别式即可得出结论；

（3）先确定出n的值，进而得出点Q的坐标，即可确定出点A，B坐标，最后确定出AQ，BQ，即可得到结论．

（1）∵抛物线y=ax2﹣2anx+an2+n+3=a（x﹣n）2+（n+3），∴抛物线P（n，n+3）．

∵顶点P在一条定直线l上，令n=x，n+3=y，∴y=x+3，即：直线l的解析式为y=x+3；

（2）抛物线与x轴有唯一的公共点，令y=0，即：ax2﹣2anx+an2+n+3=0，∴△=（﹣2an）2﹣4a×（an2+n+3）=﹣4a（n+3）=0．

∵任意非零实数a，∴n+3=0，∴n=﹣3，∴抛物线与x轴有唯一的公共点，此时n的值为﹣3；

（3）由（1）知，P（n，n+3）．

∵点P在x轴上，∴n+3=0，∴n=﹣3，∴抛物线y=a（x+3）2，①

∵直线l的解析式为y=x+3②，联立①②得Q（﹣3+）．

∵过点Q作y轴的平行线，交x轴于点B，∴BQ=||．

∵过点Q作x轴的平行线，交抛物线于点A，∴a（x+3）2=，∴x=﹣3±，∴A（﹣3﹣）．

∵Q（﹣3+），∴AQ=|﹣3+﹣（﹣3﹣）|=||，∴=2．