题目内容

如图1,在平面直角坐标系中,直线AB与x轴交于点A,与y轴交于点B,与直线OC交于点C.
(1)若直线AB解析式为y=-2x+12,直线OC解析式为y=x,
①求点C的坐标;
②求△OAC的面积.
(2)如图2,作∠AOC的平分线ON,若AB⊥ON,垂足为E,△OAC的面积为6,且OA=4,P、Q分别为线段OA、OE上的动点,连接AQ与PQ,试探索AQ+PQ是否存在最小值?若存在,求出这个最小值;若不存在,说明理由.
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分析:(1)①联立两个函数式,求解即可得出交点坐标,即为点C的坐标.
②欲求△OAC的面积,结合图形,可知,只要得出点A和点C的坐标即可,点C的坐标已知,利用函数关系式即可求得点A的坐标,代入面积公式即可.
(2)在OC上取点M,使OM=OP,连接MQ,易证△POQ≌△MOQ,可推出AQ+PQ=AQ+MQ;若想使得AQ+PQ存在最小值,即使得A、Q、M三点共线,又AB⊥OP,可得∠AEO=∠CEO,即证△AEO≌△CEO(ASA),又OC=OA=4,利用△OAC的面积为6,即可得出AM=3,AQ+PQ存在最小值,最小值为3.
解答:解:(1)①由题意,
y=-2x+12
y=x.
(2分)
解得
x=4
y=4.
所以C(4,4)(3分)
②把y=0代入y=-2x+12得,x=6,所以A点坐标为(6,0),(4分)
所以S△OAC=
1
2
×6×4=12
.(6分)

(2)存在;
由题意,在OC上截取OM=OP,连接MQ,精英家教网
∵OQ平分∠AOC,
∴∠AOQ=∠COQ,
又OQ=OQ,
∴△POQ≌△MOQ(SAS),(7分)
∴PQ=MQ,
∴AQ+PQ=AQ+MQ,
当A、Q、M在同一直线上,且AM⊥OC时,AQ+MQ最小.
即AQ+PQ存在最小值.
∵AB⊥ON,所以∠AEO=∠CEO,
∴△AEO≌△CEO(ASA),
∴OC=OA=4,
∵△OAC的面积为6,所以AM=12÷4=3,
∴AQ+PQ存在最小值,最小值为3.(9分)
点评:本题主要考查一次函数的综合应用,具有一定的综合性,要求学生具备一定的数学解题能力,有一定难度.
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