Question

如图1，已知点C为线段AB上一点，CB＞CA，分别以线段AC、BC为边在线段AB同侧作△ACD和△BCE，且CA=CD，CB=CE，∠ACD=∠BCE，直线AE与BD交于点F．
（1）说明AE=DB的理由．
（2）如果∠ACD=60°，求∠AFB的度数．
（3）将图1中的△ACD绕着点C顺时针旋转某个角度，到如图2的位置，如果∠ACD=α，那么∠AFB与α有何数量关系（用含α的代数式表示）？试说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵∠ACD=∠BCE（已知），
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠ECD（等式性质），
即∠ACE=∠BCD．
在△ACE与△DCB中，，
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴AE=DB（全等三角形对应边相等）；

（2）解：∵△ACE≌△DCB，
∴∠CAE=∠CDB（全等三角形对应角相等）．
∵∠ADF=∠ADC+∠CDB（等式性质），
∴∠ADF=∠ADC+∠CAE（等量代换），
又∵∠AFB=∠FAD+∠ADF（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），
∴∠AFB=∠FAD+∠ADC+∠CAE（等量代换），
∴∠AFB=∠DAC+∠ADC（等式性质）
又∵∠DAC+∠ADC+∠ACD=180°（三角形内角和等于180°），
∴∠DAC+∠ADC=180°-∠ACD（等式性质），
∴∠AFB=180°-∠ACD（等量代换），
∵∠ACD=60°（已知），
∴∠AFB=120°（等式性质）；

（3）解：∠AFB与α的数量关系为：∠AFB=180°-α，理由如下：
∵∠ACD=∠BCE=α，则∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，
即∠ACE=∠DCB．
在△ACE和△DCB中，，
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴∠CAE=∠CDB，∠AEC=∠DBC，
∴∠EFB=∠ECB，
∴∠AFB=180°-∠EFB，
∴∠AFB=180°-∠ECB，
因为∠ACD=∠BCE，∠ACD=α（已知），
所以∠AFB=180°-α．
分析：（1）利用已知得出∠ACE=∠BCD，进而利用SAS得出△ACE≌△DCB进而得出答案；
（2）首先证明△BCD≌△ECA，得出∠EAC=∠BDC，再根据∠AFB是△ADF的外角求出其度数；
（3）由∠ACD=∠BCE得到∠ACE=∠DCB，通过证明△ACE≌△DCB得∠CBD=∠CEA，由三角形内角和定理得到结论∠AFB=180°-α．
点评：本题考查了全等三角形的判定及其性质、三角形内角和定理等知识，本题还综合了旋转的知识点，是一道综合性比较强的题，要熟练掌握等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质定理．