Question

如图，?ABCD中，AB⊥AC，AB=1，BC=

5

，对角线BD、AC交于点O．将直线AC绕点O顺时针旋转分别交BC、AD于点E、F．
（1）试说明在旋转过程中，AF与CE总保持相等；
（2）证明：当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形；
（3）在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？如果不能请说明理由；如果能，求出此时AC绕点O顺时针旋转的角度．

Answer 1

分析：（1）根据平行四边形的对边平行可得AD∥BC，对角线互相平分可得OA=OC，再根据两直线平行，内错角相等求出∠1=∠2，然后利用“角边角”证明△AOF和△COE全等，根据全等三角形对应边相等即可得到AF=CE；
（2）根据垂直的定义可得∠BAO=90°，然后求出∠BAO=∠AOF，再根据内错角相等，两直线平行可得AB∥EF，然后根据平行四边形的对边平行求出AF∥BE，再根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明；
（3）根据（1）的结论可得AF=CE，再求出DF∥BE，DF=BE，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形求出四边形BEDF平行四边形，再求出对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得EF⊥BD时，四边形BEDF是菱形；根据勾股定理列式求出AC=2，再根据平行四边形的对角线互相平分求出AO=1，然后求出∠AOB=45°，再根据旋转的定义求出旋转角即可．

解答：解：（1）在?ABCD中，AD∥BC，OA=OC，
∴∠1=∠2，
在△AOF和△COE中，

∠1=∠2 OA=OC ∠3=∠4

，
∴△AOF≌△COE（ASA），
∴AF=CE；

（2）由题意，∠AOF=90°（如图2），
又∵AB⊥AC，
∴∠BAO=90°，
∠AOF=90°，
∴∠BAO=∠AOF，
∴AB∥EF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
即：AF∥BE，
∵AB∥EF，AF∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形；

（3）当EF⊥BD时，四边形BEDF是菱形（如图3）．
∵?ABCD，AF=CE，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴DF∥BE，DF=BE，
∴四边形BEDF是平行四边形，
又∵EF⊥BD，
∴?BEDF是菱形，
∵AB⊥AC，
∴在△ABC中，∠BAC=90°，
∴BC²=AB²+AC²，
∵AB=1，BC=

5

，
∴AC=

BC2-AB2

=

5 2-12

=2，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=

1

2

AC=

1

2

×2=1，
∵在△AOB中，AB=AO=1，∠BAO=90°，
∴∠1=45°，
∵EF⊥BD，
∴∠BOF=90°，
∴∠2=∠BOF-∠1=90°-45°=45°，
即：旋转角为45°．

点评：本题考查了旋转的性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，综合题，但难度不大，熟练掌握平行四边形，菱形的联系与区别是解题的关键．