Question

如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=1，BC=3，CD=4，EF是梯形的中位线，DH为梯形的高，则下列结论正确的有

 

．（填序号之间不用符号，如①②）
①四边形EHCF为菱形；②∠BCD=60°；③S_△BEH=

1

2

S_△CEH；④以AB为直径的圆与CD相切于点F．

Answer 1

分析：根据已知对各个结论进行分析从而得到最后答案．

解答：解：①正确
∵EF=2，BH=AD=1
∴CH=2
∴即四边形EFCH是平行四边形
∵CF=2=EF
∴四边形EHCF为菱形；
②正确，在直角三角形CDH中，CH=2，CD=4，则∠CDH=30°，∴∠BCD=60°；
③正确，因为BH=

1

2

CH，所以S_△BEH=

1

2

S_△CEH；
④不正确，根据以上的证明只能得出以AB为直径的圆与CD相切于点G，而不切于点F，
因为EF=2，而圆的半径为根号3，
所以以AB为直径的圆不可能与点F相切．
④不正确，
∵以AB为直径的圆
∴圆心是E，半径是AB的一半
作EG⊥CD于G
∴∠ECG=30°
∴CE=2EG
∵在直角三角形BCE中，∠BCE=30°
∴CE=2BE=AB
∴AB=2EG
∴以AB为直径的圆与CD相切于点F；
故答案为：①②③．

点评：此类题的综合性较强，要非常熟悉特殊四边形的性质以及直角三角形的性质和梯形的中位线定理．