题目内容
【题目】如图，矩形ABCD中，O是AC与BD的交点，过O点的直线EF与AB，CD的延长线分别交于E，F． 
（1）求证：△BOE≌△DOF；
（2）当EF与AC满足什么关系时，以A，E，C，F为顶点的四边形是菱形？证明你的结论．
【答案】
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴OB=OD（矩形的对角线互相平分），
AE∥CF（矩形的对边平行）．
∴∠E=∠F，∠OBE=∠ODF．
∴△BOE≌△DOF（AAS）
（2）解：当EF⊥AC时，四边形AECF是菱形．
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC（矩形的对角线互相平分）．
又∵由（1）△BOE≌△DOF得，OE=OF，
∴四边形AECF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）
又∵EF⊥AC，
∴四边形AECF是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）
【解析】（1）由矩形的性质：OB=OD，AE∥CF证得△BOE≌△DOF；（2）若四边形EBFD是菱形，则对角线互相垂直，因而可添加条件：EF⊥AC， 当EF⊥AC时，∠EOA=∠FOC=90°，
∵AE∥FC，
∴∠EAO=∠FCO，矩形对角线的交点为O，
∴OA=OC，
∴△AOE≌△COF，
∴OE=OF，根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形．
∴四边形EBFD是菱形．
【题目】某市某校准备组织教师、学生、家长到曲阜进行参观学习活动，旅行社代办购买动车票，动车票价格如下表所示：
运行区间 | 大人票价 | 学生票价 | ||
出发站 | 终点站 | 一等座 | 二等座 | 二等座 |
济南 | 曲阜 | 65（元） | 54（元） | 40（元） |
根据报名总人数，若所有人员都买一等座的动车票，则共需13 650元；若都买二等座的动车票（学生全部按表中的“学生票二等座”购买），则共需8 820元．已知家长的人数是教师的人数的2倍．
（1）请求出参加活动的教师和学生各有多少人？
（2）如果二等座动车票共买到m张，且学生全部按表中的“学生票二等座”购买，其余的买一等座动车票，且买票的总费用不低于9 000元，求m的最大值．
