题目内容
已知抛物线y=1 |
4 |
3 |
4 |
(1)直接写出抛物线顶点D的坐标(用含m、k的式子表示);
(2)当m=2,k=-4时,求∠ACE的大小;
(3)是否存在正实数m=k,使得抛物线在直线l下方的一段弧上有且仅有两个点P1和P2,且∠A P1E=∠A P2E=45°?如果存在,求m的值和点P1、P2的坐标;如果不存在,请说明理由.
分析:(1)根据公式法或配方法求出二次函数解析式的顶点坐标即可;
(2)根据各点坐标得出△ABE是等腰直角三角形.进而得出∠ACE=∠ABE=45°;
(3)根据抛物线y=
x2-
mx+k,与直线l:y=x+m的交点得出A点坐标,进而得出符合要求p点的坐标.
(2)根据各点坐标得出△ABE是等腰直角三角形.进而得出∠ACE=∠ABE=45°;
(3)根据抛物线y=
1 |
4 |
3 |
4 |
解答:解:(1)可用公式法直接求出顶点D的坐标,(
m,k-
m2).
(2)当m=2,k=-4时,
点C(0,-4),
直线DE为x=3,
再由
代①入②,得x2-10x-24=0,
解得,x1=-2,x2=12.
∴点A(-2,0)、点E(3,5).
设抛物线与x轴的另一交点是B,DE与x轴相交于点F(3,0),
∵CF=AF=EF=BF=5,且△ABE是等腰直角三角形.
∴点A、B、C、E都在⊙F上,∠ACE=∠ABE=45°.
(3)当m=k>0时,
x2-
mx+k=x+m,
得x1=0,x2=3m+4>0.
∴点A(0,m).
显然,经过点A且平行于x轴的直线与抛物线的另一交点即为点P1(3m,m).
又∵由题意,点P2只能有一解,
再结合抛物线的对称性,可知点P2只能重合于点D.
设DE与AP1交于点G,
由DG=AG,即m-(k-
m2)=
m,
得m=
.
∴点P1(8,
)、点P2(4,-
).
3 |
2 |
9 |
16 |
(2)当m=2,k=-4时,
点C(0,-4),
直线DE为x=3,
再由
|
代①入②,得x2-10x-24=0,
解得,x1=-2,x2=12.
∴点A(-2,0)、点E(3,5).
设抛物线与x轴的另一交点是B,DE与x轴相交于点F(3,0),
∵CF=AF=EF=BF=5,且△ABE是等腰直角三角形.
∴点A、B、C、E都在⊙F上,∠ACE=∠ABE=45°.
(3)当m=k>0时,
1 |
4 |
3 |
4 |
得x1=0,x2=3m+4>0.
∴点A(0,m).
显然,经过点A且平行于x轴的直线与抛物线的另一交点即为点P1(3m,m).
又∵由题意,点P2只能有一解,
再结合抛物线的对称性,可知点P2只能重合于点D.
设DE与AP1交于点G,
由DG=AG,即m-(k-
9 |
16 |
3 |
2 |
得m=
8 |
3 |
∴点P1(8,
8 |
3 |
4 |
3 |
点评:此题主要考查了二次函数的综合应用,利用函数交点坐标性质得出符合要求点的坐标是重点题型,同学们应重点关注.
练习册系列答案
相关题目