Question

如图1，直线y=

3

4

x-1与抛物线y=-

1

4

x2交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求线段AB的长；
（2）若以AB为直径的圆与直线x=m有公共点，求m的取值范围；
（3）如图2，把抛物线向右平移2个单位，再向上平移n个单位（n＞0），抛物线与x轴交于P、Q两点，过C、P、Q三点的圆的面积是否存在最小值？若存在，请求出这个最小值和此时n的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）直线解析式与二次函数解析式组成方程组，求得点A，B的坐标，从而求得AB的长．
（2）由点A，B求得圆的圆心设为点O，由AB的长度求得圆半径而得到圆方程，代入x=m求判别式≥0即可．
（3）由抛物线平移后为：y=-

1

4

(x-2)2+n，其对称轴是x=2．由于过P、Q的圆的圆心必在对称轴上，要使圆的面积最小，则圆的半径要最小，即点C到圆心的距离要最短，过C作CE垂直抛物线的对称轴，垂足为E，则符合条件的圆是以E为圆心，EC长为半径的圆，求得圆的面积和n的值．

解答：解：由题意：

y= 3 4 x-1 y=- 1 4 x2

，
解得：x²+3x-4=0，
即x=-4或x=1．
代入求得y=-4或-

1

4

，

x=-4 y=-4

或

x=1 y=- 1 4

，
即点A（-4，-4）B（1，-

1

4

），
则AB=

52+( 15 4 ) 2

=

25

4

；

（2）由（1）可得A，B中点即圆的圆心点O为（-

3

2

，-

17

8

），
半径为

1

2

AB=

25

8

，
∵以AB为直径的圆与x=m②有公共点，
∴-

3

2

-

25

8

≤m≤-

3

2

+

25

8

，
即-

37

8

≤m≤

13

8

；

（3）抛物线平移后为：y=-

1

4

(x-2)2+n．
存在．
理由如下：抛物线平移后为：y=-

1

4

(x-2)2+n，其对称轴是x=2．
由于过P、Q的圆的圆心必在对称轴上，要使圆的面积最小，则圆的半径要最小，
即点C到圆心的距离要最短，过C作CE垂直抛物线的对称轴，垂足为E，
则符合条件的圆是以E为圆心，EC长为半径的圆，
其面积为4π，n的值0.75．

点评：本题考查了二次方程的综合运用，运用直线和二次函数方程求得交点坐标，以及通过求二次方程的判别式是否≥0，来判定其是否有解．以及考查抛物线的移动问题．