题目内容
【题目】对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C，给出如下定义：若存在过点P的直线l交⊙C于异于点P的A，B两点，在P，A，B三点中，位于中间的点恰为以另外两点为端点的线段的中点时，则称点P为⊙C 的相邻点，直线l为⊙C关于点P的相邻线．
（1）当⊙O的半径为1时，
①分别判断在点D（ 
， 
），E（0，﹣ 
），F（4，0）中，是⊙O的相邻点有；
②请从①中的答案中，任选一个相邻点，在图1中做出⊙O关于它的一条相邻线，并说明你的作图过程；
③点P在直线y=﹣x+3上，若点P为⊙O的相邻点，求点P横坐标的取值范围；
（2）⊙C的圆心在x轴上，半径为1，直线y=﹣ 
与x轴，y轴分别交于点M，N，若线段MN上存在⊙C的相邻点P，直接写出圆心C的横坐标的取值范围．
【答案】
（1）D或E,解：②连接OD,过点D作OD的垂线交⊙O于A、B两点,如图所示： 
,③令x=0代入y=﹣x+3,∴y=3,令y=0代入y=﹣x+3,∴x=3,∴y=﹣x+3与坐标轴的交点为（0,3）和（3,0）∵由于点P在直线y=﹣x+3上,且点P是⊙O的相邻点,∴0≤PO≤3,且PO≠1又∵点P在⊙O外,∴1＜PO≤3,∴p的横坐标范围为：0≤x≤3；
（2）解：令x=0代入y=﹣ 
x+2 
，
∴y=2 ，
∴N（0，2 ），
令y=0代入y=﹣ x+2 ，
∴x=6，
∴M（6，0），
∵点P是半径为1的⊙C的相邻点，
∴0≤PC≤3且PC≠1，
∴点C在以点P为圆心，半径为3的圆内，且不能在以点P为圆心，半径为1的圆上，
∵点C在x轴上，
∴点C的横坐标范围的取值范围：0≤x≤9．
【解析】解：（1）由定义可知，
当点P在⊙C内时，
由垂径定理可知，点P必为⊙C的相邻点，
此时，0≤PC＜1；
当点P在⊙C外时，
设点A是PB的中点，
连接PC交⊙C于点M，
延长PC交⊙C于点N，
连接AM，BN，
∵∠AMP+∠NMA=180°，
∠B+∠NMA=180°，
∴∠AMP=∠B，
∵∠P=∠P，
∴△AMP∽△NBP，
∴ 
= 
，
∴PAPB=PMPN，
∵点A是PB的中点，
∴AB=PA，
又∵⊙C的半径为1，
∴2AB2=（PC﹣CM）（PC+CN），
∴2AB2=PC2﹣1，
又∵AB是⊙C的弦，
∴AB≤2，
∴2AB2≤8，
∴PC2﹣1≤8，
∴PC2≤9，
∴PC≤3，
∵点P在⊙C外，
∴PC＞1，
∴1＜PC≤3，
当点P在⊙C上时，
此时PC=1，但不符合题意，
综上所述，半径为1的⊙C，当点P与圆心C的距离满足：0≤PC≤3，且PC≠1时，点P为⊙C的相邻点；
①∵D（ 
， 
），
∴DO= 
= 
，
∵E（0，﹣ ），
∴OE= ，
∵F（4，0），
∴OF=4，
∴D和E是⊙O的相邻点；
