Question

已知关于x的一元二次方程ax²+2bx+c=0（a＞0）①．
（1）若方程①有一个正实根c，且2ac+b＜0．求b的取值范围；
（2）当a=1时，方程①与关于x的方程4x²+4bx+c=0②有一个相同的非零实根，求

8b2-c

8b2+c

的值．

Answer 1

分析：（1）先根据c是一元二次方程ax²+2bx+c=0的实数根，把c代入此方程可得到关于a、b、c的方程，根据c＞0可得到ac+2b+1=0，再由不等式的基本性质即可求出b的取值范围；
（2）把a=1代入方程4x²+4bx+c=0中，设方程①与方程②的相同实根为m，把m分别代入两方程得到关于m的方程组，求出m的值，把此值代入一个方程便可得到b、c的关系式，代入

8b2-c

8b2+c

即可求出其答案．

解答：解：（1）∵c为方程的一个正实根（c＞0），
∴ac²+2bc+c=0．
∵c＞0，
∴ac+2b+1=0，即ac=-2b-1．
∵2ac+b＜0，
∴2（-2b-1）+b＜0．
解得b＞-

2

3

．
又∵ac＞0（由a＞0，c＞0）．
∴-2b-1＞0．
解得b＜-

1

2

．
∴-

2

3

＜b＜-

1

2

；

（2）当a=1时，此时方程①为x²+2bx+c=0．
设方程①与方程②的相同实根为m，
∴m²+2bm+c=0③
∴4m²+4bm+c=0④
④-③得3m²+2bm=0．
整理，得m（3m+2b）=0．
∵m≠0，
∴3m+2b=0．
解得m=-

2b

3

．
把m=-

2b

3

代入方程③得(-

2

3

b)2+2b(-

2

3

b)+c=0．
∴-

8b2

9

+c=0，即8b²=9c．
当8b²=9c时，

8b2-c

8b2+c

=

4

5

．
故答案为：-

2

3

＜b＜-

1

2

，

4

5

．

点评：本题考查的是一元二次方程的解及根的判别式，解答此题的关键是熟知根的判别式与方程的根之间的关系．