题目内容
如图,△DAC和△EBC均为等边三角形,AE,BD交于O点,且分别与CD,CE交于M,N.则下列结论:①AE=BD;②CM=CN;③∠AOB=120°;④CO平分∠AOB.其中正确的有( )
A、1 | B、2 | C、3 | D、4 |
分析:①易证△ACE≌△DCB,即可得到;②由△ACE≌△DCB得,∠MAC=∠NDC,△DAC和△EBC均为等边三角形,得∠DCE=60°,即可证明△ACM≌△DCN;③因为∠MAC=∠NDC,∠DMO=∠AMC,所以,∠ACM=∠AOD=60°;④因∠MON=120°,又因为△BCN∽△E0N,所以
=
,因为∠ONC=∠BNE,所以△ONC∽△ENB,所以∠CON=∠CEB=60°,∠MOC=60°,则OC平分∠AOB.
ON |
NC |
NE |
NB |
解答:解:①在△ACE和△DCB中,
AC=CD,CE=BC,∠ACE=∠ECB,
∴△ACE≌△DCB,
∴∠MAC=∠NDC,AE=BD;
②∵△DAC和△EBC均为等边三角形,
∴∠DCE=60°,
∴△ACM≌△DCN,
∴CM=CN;
③∵∠MAC=∠NDC,∠DMO=∠AMC,
∴∠ACM=∠AOD=60°,
∴∠AOB=180°-60°=120°;
④∵∠MON=120°,又因为△BCN∽△E0N,
∴
=
,∵∠ONC=∠BNE,
∴△ONC∽△ENB,
∴∠CON=∠CEB=60°,∠MOC=60°,
∴OC平分∠AOB.
故选D.
AC=CD,CE=BC,∠ACE=∠ECB,
∴△ACE≌△DCB,
∴∠MAC=∠NDC,AE=BD;
②∵△DAC和△EBC均为等边三角形,
∴∠DCE=60°,
∴△ACM≌△DCN,
∴CM=CN;
③∵∠MAC=∠NDC,∠DMO=∠AMC,
∴∠ACM=∠AOD=60°,
∴∠AOB=180°-60°=120°;
④∵∠MON=120°,又因为△BCN∽△E0N,
∴
ON |
NC |
NE |
NB |
∴△ONC∽△ENB,
∴∠CON=∠CEB=60°,∠MOC=60°,
∴OC平分∠AOB.
故选D.
点评:本题考查了等边三角形的性质及全等三角形的判定及性质,熟练掌握三角形全等、相似的性质是解答本题的基础.
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