Question

（2013•尤溪县质检）如图，⊙O的半径为6cm，经过⊙O上一点C作⊙O的切线交半径OA的延长于点B，作∠ACO的平分线交⊙O于点D，交OA于点F，延长DA交BC于点E．
（1）求证：AC∥OD；
（2）如果DE⊥BC，求

AC

的长度．

Answer 1

分析：（1）由OC=OD，CD平分∠ACO，易证得∠ACD=∠ODC，即可证得AC∥OD；
（2）BC切⊙O于点C，DE⊥BC，易证得平行四边形ADOC是菱形，继而可证得△AOC是等边三角形，则可得：∠AOC=60°，继而求得

AC

的长度．

解答：（1）证明：∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC，
∵CD平分∠ACO，
∴∠OCD=∠ACD，
∴∠ACD=∠ODC，
∴AC∥OD；…（2分）

（2）∵BC切⊙O于点C，
∴BC⊥OC，
∵DE⊥BC，
∴OC∥DE，…（3分）
∵AC∥OD，
∴四边形ADOC是平行四边形，
∵OC=OD，
∴平行四边形ADOC是菱形，…（4分）
∴OC=AC=OA，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠AOC=60°，…（6分）
∴

AC

长度=

60π×6

180

=2π．…（8分）

点评：此题考查了切线的性质、等腰三角形的判定与性质、菱形的判定与性质以及弧长公式．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．