题目内容
【题目】如图,抛物线与x轴交于A(﹣1,0)、B(3,0)两点,与y轴交于点C(0,﹣3),设抛物线的顶点为D.
(1)求该抛物线的解析式与顶点D的坐标;
(2)以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形吗?为什么?
(3)探究坐标轴上是否存在点P,使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似?若存在,请指出符合条件的点P的位置,并直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)顶点D的坐标为(1,﹣4).(2)△BCD为直角三角形.(3)符合条件的点有三个:O(0,0),,P2(9,0).
【解析】
试题分析:(1)已知了抛物线图象上的三点坐标,可用待定系数法求出该抛物线的解析式,进而可用配方法或公式法求得顶点D的坐标.
(2)根据B、C、D的坐标,可求得△BCD三边的长,然后判断这三条边的长是否符合勾股定理即可.
(3)假设存在符合条件的P点;首先连接AC,根据A、C的坐标及(2)题所得△BDC三边的比例关系,即可判断出点O符合P点的要求,因此以P、A、C为顶点的三角形也必与△COA相似,那么分别过A、C作线段AC的垂线,这两条垂线与坐标轴的交点也符合点P点要求,可根据相似三角形的性质(或射影定理)求得OP的长,也就得到了点P的坐标.
试题解析:(1)设该抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,
由抛物线与y轴交于点C(0,﹣3),可知c=﹣3,
即抛物线的解析式为y=ax2+bx﹣3,
把A(﹣1,0)、B(3,0)代入,
得
解得a=1,b=﹣2.
∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3,
∴顶点D的坐标为(1,﹣4).
(2)以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形,
理由如下:
过点D分别作x轴、y轴的垂线,垂足分别为E、F.
在Rt△BOC中,OB=3,OC=3,
∴BC2=18,
在Rt△CDF中,DF=1,CF=OF﹣OC=4﹣3=1,
∴CD2=2,
在Rt△BDE中,DE=4,BE=OB﹣OE=3﹣1=2,
∴BD2=20,
∴BC2+CD2=BD2,故△BCD为直角三角形.
(3)连接AC,则容易得出△COA∽△CAP,又△PCA∽△BCD,可知Rt△COA∽Rt△BCD,得符合条件的点为O(0,0).
过A作AP1⊥AC交y轴正半轴于P1,可知Rt△CAP1∽Rt△COA∽Rt△BCD,
求得符合条件的点为.
过C作CP2⊥AC交x轴正半轴于P2,可知Rt△P2CA∽Rt△COA∽Rt△BCD,
求得符合条件的点为P2(9,0).
∴符合条件的点有三个:O(0,0),,P2(9,0).