Question

如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝3，AC＝4，动点E（与点A、C不重合）在AC边上，EF∥AB交BC于点F．

【小题1】当△ECF的面积与四边形EABF的面积相等时，求CE的长
【小题2】当△ECF的周长与四边形EABF的周长相等时，求CE的长
【小题3】试问在AB上是否存在点P，使得△EFP为等腰直角三角形？若不存在，请简要说明理由；若存在，请求出EF的长．

Answer 1

【小题1】CE＝2
【小题2】
【小题3】在AB上存在点P．使△EFP为等腰直角三角形，此时EF＝或EF＝解析:
解：（1）∵△ECF的面积与四边形EABF的面积相等，
∴S△ECF：S△ACB=1：2，
又∵EF∥AB，∴△ECF∽△ACB，
∴,且AC=4，
∴CE=2；
（2）设CE的长为x，
∵△ECF∽△ACB，
∴,∴CF=x，
由△ECF的周长与四边形EABF的周长相等，得：
x+EF+x=(4-x)+5+(3-x)+EF
解得x=，∴CE的长为
（3）△EFP为等腰直角三角形，有两种情况：
①如图1，假设∠PEF=90°，EP=EF
由AB=5，BC=3，AC=4，得∠C=90°
∴Rt△ACB斜边AB上高CD=,设EP=EF=x，由△ECF∽△ACB，得：

即，
解得x=，即EF=
当∠EFP´=90°，EF=FP′时，同理可得EF=；
②如图2，假设∠EPF=90°，PE=PF时，点P到EF的距离为EF
设EF=x，由△ECF∽△ACB，得：

解得x= ，即EF= 
综上所述，在AB上存在点P，使△EFP为等腰直角三角形，此时EF=或EF=