Question

【题目】如图，矩形ABOD的两边OB，OD都在坐标轴的正半轴上，OD=4，另两边与一次函数y=﹣2x+b的图象分别相交于点E，F，且DE=2，过点E作EH⊥x轴于点H，过点F作FG⊥EH于点G．

（1）求一次函数的解析式；

（2）当四边形BHGF为正方形时，点F的坐标；

（3）是否存在矩形BHGF与矩形DOHE相似情形？若存在，求出相似比；若不存在，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣2x+8；（2）（，）；（3）存在，相似比为1：2或2：5．

【解析】

试题分析：（1）先确定E点坐标，由四边形ABOD为矩形，OD=4，DE=2，得出E点坐标为（2，4），代入一次函数y=﹣2x+b，求出b=8，即可得出一次函数的解析式；（2）利用一次函数求出F点坐标，设正方形BHGF的边长为a，则GH=HB=BF=a，得出F点坐标为（2+a，a），代入y=﹣2x+8，求出a=，即可得出F点坐标；（3）矩形BHGF与矩形DOHE能相似，分两种情况：①FG：OD=BF：DE，即=2，设FG=2t，则BF=t，则F点坐标为（2+2t，t），代入y=﹣2x+8，求出t=，得出FG=，即可求出相似比；②FB：OD=FG：DE，即=2，设FB=2t，则FG=t，则F点坐标为（2+t，2t），代入y=﹣2x+8，求出t=1，得出FG=2，即可求出相似比．

试题解析：（1）先求出E点坐标，∵四边形ABOD为矩形，EH⊥x轴，OD=4，DE=2，∴E点坐标为（2，4），∴4=﹣2×2+b，解得：b=8，∴一次函数的解析式为y=﹣2x+8；（2）利用一次函数求出F点坐标，设正方形BHGF的边长为a，则GH=HB=BF=a，∴F点坐标表示为（2+a，a），把F（2+a，a）代入y=﹣2x+8，得a=﹣2（2+a）+8，解得：a=，∴F点坐标为（，）；（3）矩形BHGF与矩形DOHE能相似．∵矩形BHGF与矩形DOHE能相似，根据对应线段不同，分两种情况：①FG：OD=BF：DE，∴=2，设FG=2t，则BF=t，∴F点坐标为（2+2t，t），把F（2+2t，t）代入y=﹣2x+8，得t=﹣2（2+2t）+8，解得：t=，∴FG=，相似比===；②FB：OD=FG：DE，∴=2，设FB=2t，则FG=t，∴F点坐标为（2+t，2t），把F（2+t，2t）代入y=﹣2x+8，得2t=﹣2（2+t）+8，解得：t=1，∴FG=2，相似比===；综上所述：相似比为1：2或2：5．