题目内容

(2013•菏泽)如图,三角形ABC是以BC为底边的等腰三角形,点A、C分别是一次函数y=-
3
4
x+3的图象与y轴的交点,点B在二次函数y=
1
8
x2+bx+c
的图象上,且该二次函数图象上存在一点D使四边形ABCD能构成平行四边形.
(1)试求b,c的值,并写出该二次函数表达式;
(2)动点P从A到D,同时动点Q从C到A都以每秒1个单位的速度运动,问:
①当P运动到何处时,有PQ⊥AC?
②当P运动到何处时,四边形PDCQ的面积最小?此时四边形PDCQ的面积是多少?
分析:(1)根据一次函数解析式求出点A、点C坐标,再由△ABC是等腰三角形可求出点B坐标,根据平行四边形的性性质求出点D坐标,利用待定系数法可求出b、c的值,继而得出二次函数表达式.
(2)①设点P运动了t秒时,PQ⊥AC,此时AP=t,CQ=t,AQ=5-t,再由△APQ∽△CAO,利用对应边成比例可求出t的值,继而确定点P的位置;
②只需使△APQ的面积最大,就能满足四边形PDCQ的面积最小,设△APQ底边AP上的高为h,作QH⊥AD于点H,由△AQH∽CAO,利用对应边成比例得出h的表达式,继而表示出△APQ的面积表达式,利用配方法求出最大值,即可得出四边形PDCQ的最小值,也可确定点P的位置.
解答:解:(1)由y=-
3
4
x+3,
令x=0,得y=3,所以点A(0,3);
令y=0,得x=4,所以点C(4,0),
∵△ABC是以BC为底边的等腰三角形,
∴B点坐标为(-4,0),
又∵四边形ABCD是平行四边形,
∴D点坐标为(8,3),
将点B(-4,0)、点D(8,3)代入二次函数y=
1
8
x2+bx+c,可得
2-4b+c=0
8+8b+c=3

解得:
b=-
1
4
c=-3

故该二次函数解析式为:y=
1
8
x2-
1
4
x-3.

(2)①设点P运动了t秒时,PQ⊥AC,此时AP=t,CQ=t,AQ=5-t,
∵PQ⊥AC,
∴△APQ∽△CAO,
AP
AC
=
AQ
CO
,即
t
5
=
5-t
4

解得:t=
25
9

即当点P运动到距离A点
25
9
个单位长度处,有PQ⊥AC.
②∵S四边形PDCQ+S△APQ=S△ACD,且S△ACD=
1
2
×8×3=12,
∴当△APQ的面积最大时,四边形PDCQ的面积最小,
当动点P运动t秒时,AP=t,CQ=t,AQ=5-t,
设△APQ底边AP上的高为h,作QH⊥AD于点H,由△AQH∽CAO可得:
h
3
=
5-t
5

解得:h=
3
5
(5-t),
∴S△APQ=
1
2
3
5
(5-t)=
3
10
(-t2+5t)=-
3
10
(t-
5
2
2+
15
8

∴当t=
5
2
时,S△APQ达到最大值
15
8
,此时S四边形PDCQ=12-
15
8
=
81
8

故当点P运动到距离点A
5
2
个单位处时,四边形PDCQ面积最小,最小值为
81
8
点评:本题考查了二次函数的综合,涉及了待定系数法求函数解析式、平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质,解答本题的关键是找到满足题意时的相似三角形,利用对应边成比例的知识得出有关线段的长度或表达式,难度较大.
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