Question

【题目】正方形ABCD中，E、F分别在AD、DC上，∠ABE=∠CBF=15°，G是AD上另一点，且∠BGD=120°，连接EF、BG、FG、EF、BG交于点H，则下面结论：①DE=DF；②△BEF是等边三角形；③∠BGF=45°；④BG=EG+FG中，正确的是（请填番号）

Answer 1

【答案】①②④
【解析】证明：连接BD，在BG上取一点M，使得GM=GF． ∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CB=AD=CD，∠ABC=∠A=∠C=90°，∠ABD=∠CBD=45°，
在△BAE和△BCF中，
，
∴△BAE≌△BCF，
∴BE=BF，AE=CF，
∴DE=DF，故①正确，
∵∠ABE=∠CBF=15°，
∠EBF=60°，
∴△EBF是等边三角形，故②正确，
∵∠BGD=120°，
∴∠EGH=∠HFB=60°，
∵∠EHG=∠BHF，
∴△EHG∽△BHF，
∴ = ，
∴ = ，∵∠EHB=∠GHF，
∴△EHB∽△GHF，
∴∠BEH=∠BGF=60°，故③错误，
∵GM=GF，
∴△GMF是等边三角形，
∴FM=FG，∠MFG=∠BFE=60°，
∴∠BFM=∠EFG，∵BF=FE，
∴△BFM≌△EFG，
∴BM=EG，
∴GB=GM+BM=GF+EG，故④正确．
所以答案是①②④．

【考点精析】本题主要考查了正方形的性质的相关知识点，需要掌握正方形四个角都是直角，四条边都相等；正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；正方形的对角线与边的夹角是45o；正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形才能正确解答此题．