题目内容

【题目】请你利用直角坐标平面上任意两点(x1y1)、(x2y2)间的距离公式解答下列问题:

已知:反比例函数与正比例函数yx的图象交于AB两点(A在第一象限),点F1(﹣2,﹣2)、F222)在直线yx上.设点Px0y0)是反比例函数图象上的任意一点,记点PF1F2两点的距离之差d|PF1PF2|.试比较线段AB的长度与d的大小,并由此归纳出双曲线的一个重要定义(用简练的语言表述).

【答案】见解析

【解析】

解由yy=x组成的方程组可得AB两点的坐标分别为()、(),利用两点间的距离公式可求出线段AB的长度,由P为反比例函数y=上一点可得出x0y0的关系式,利用两点间的距离公式可得出PF1PF2的长,代入d=|PF1-PF2|即可得到x0的表达式,再根据x0的取值范围即可求出d的长,进而得出结论.

解:解由yx组成的方程组可得AB两点的坐标分别为,()、(--),线段AB的长度=4

∵点Px0y0)是反比例函数图象上一点,

y0

PF1||

PF2||

d|PF1PF2|

x00时,d4x00时,d4

∴无论点P的位置如何,线段AB的长度与d一定相等.

∴到两个定点的距离之差(取正值)是定值的点的集合(轨迹)是双曲线.

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