题目内容

【题目】在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+2过B(﹣2,6),C(2,2)两点.

(1)试求抛物线的解析式;
(2)记抛物线顶点为D,求△BCD的面积;
(3)若直线y=﹣ x向上平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC(包括端点B、C)部分有两个交点,求b的取值范围.

【答案】
(1)

解:由题意 解得

∴抛物线解析式为y= x2﹣x+2.


(2)

解:∵y= x2﹣x+2= (x﹣1)2+

∴顶点坐标(1, ),

∵直线BC为y=﹣x+4,∴对称轴与BC的交点H(1,3),

∴SBDC=SBDH+SDHC= 3+ 1=3.


(3)

解:

消去y得到x2﹣x+4﹣2b=0,

当△=0时,直线与抛物线相切,1﹣4(4﹣2b)=0,

∴b=

当直线y=﹣ x+b经过点C时,b=3,

当直线y=﹣ x+b经过点B时,b=5,

∵直线y=﹣ x向上平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC(包括端点B、C)部分有两个交点,

<b≤3.


【解析】(1)根据待定系数法即可解决问题.(2)求出直线BC与对称轴的交点H,根据SBDC=SBDH+SDHC即可解决问题.(3)由 ,当方程组只有一组解时求出b的值,当直线y=﹣ x+b经过点C时,求出b的值,当直线y=﹣ x+b经过点B时,求出b的值,由此即可解决问题.本题考查待定系数法确定二次函数解析式、二次函数性质等知识,解题的关键是求出对称轴与直线BC交点H坐标,学会利用判别式确定两个函数图象的交点问题,属于中考常考题型.
【考点精析】掌握二次函数的性质是解答本题的根本,需要知道增减性:当a>0时,对称轴左边,y随x增大而减小;对称轴右边,y随x增大而增大;当a<0时,对称轴左边,y随x增大而增大;对称轴右边,y随x增大而减小.

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