Question

已知关于x的一元二次方程x²+（4m+1）x+2m-1=0
（1）求证：不论m为任何实数，方程总有两个不相等的实数根．
（2）若方程两根为x₁，x₂，且满足（x₁+1）（x₂+1）=2，求m的值．

Answer 1

解：（1）∵△=（4m+1）²-4（2m-1）=16m²+5＞0，
∴原方程必有两不等实数根．
（2）∵x₁+x₂=-（4m+1），x₁•x₂=2m-1，
∴（x₁+1）（x₂+1）=x₁•x₂+x₁+x₂+1=2，
即：2m-1-（4m+1）+1=2，
解得：m=．
分析：（1）要证明方程总有两个不相等的实数根，那么只要证明△＞0即可．
（2）首先利用根与系数的关系可以得到x₁+x₂，x₁•x₂，接着利用根与系数的关系得到关于m的方程，解方程即可解决问题．
点评：本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．要注意无理方程，分式方程有意义的条件，并会以此来检验根的合理性．
总结一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0?方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0?方程没有实数根．