题目内容
【题目】如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过A（-1，0）、B（3，0）两点，点C是抛物线与y轴的交点．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）当0＜x＜3时，求y的取值范围；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使△BCM是等腰三角形，若存在请直接写出点M坐标，若不存在请说明理由．
【答案】(1) y=x2﹣2x﹣3，顶点坐标为（1，﹣4）．(2) ﹣4≤y＜0；(3)存在, 点M的坐标为(1， 
)或（1， 
）或（1， 
）或（1， 
）或（1，-1）．
【解析】试题分析：
（1）把点A、B的坐标代入y=x2+bx+c中，列方程组解得b、c的值即可得到抛物线的解析式；把所得解析式配方化为“顶点式”可得顶点坐标；
（2）根据（1）中所得抛物线的顶点坐标和点B的坐标结合图形可得本题答案；
（3）设点M的坐标为（1，m），由两点间距离公式（或勾股定理），表达出：CB2、CM2、BM2，再分①CB2=CM2；②CB2=BM2；③CM2=BM2三种情况分别列出关于“m”的方程，解方程即可可得到答案.
试题解析：
（1）把A（﹣1，0）、B（3，0）分别代入y=x2+bx+c中，
得： 
，解得： 
，
∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3．
∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线顶点坐标为（1，﹣4）．
（2）∵在y=x2﹣2x﹣3中，当
时， 
；当
时， 
；抛物线顶点坐标为（1，-4），
∴当0＜x＜3时， 
的取值范围为：﹣4≤y＜0；.
（3）存在.由（1）和（2）可知，抛物线的对称轴为直线
，点C的坐标为（0，-3），
∴可设点M的坐标为（1，m），由此可得：CB2=18；CM2=
；BM2=
.
①当CB2=CM2时，有
，解得： 
；
②当CB2=BM2时，有
，解得： 
；
③当CM2=BM2时，有
，解得： 
；
综上所述，存在点M使△BCM是等腰三角形，M的坐标为： 
、
、
、
、
.
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