Question

【题目】如图，在直角坐标系中，以点A（1，0）为圆心，以2为半径的圆与x轴交于B，C两点，与y轴交于D，E两点．

（1）直接写出B，C，D点的坐标；
（2）若B、C、D三点在抛物线y=ax2+bx+c上，求出这个抛物线的解析式及它的顶点坐标．
（3）若圆A的切线交x轴正半轴于点M，交y轴负半轴于点N，切点为P，∠OMN=30°，试判断直线MN是否经过B、C、D三点所在抛物线的顶点？说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如图1，连接AD，得OA=1，AD=2，

∴OD= ，

∴D（0，﹣ ），

∵点A（1，0）为圆心，以2为半径的圆，

与x轴交于B、C两点，

∴B（﹣1，0），C（3，0）

（2）

解：∵B（﹣1，0），C（3，0），D（0，﹣ ），

∴将B，C，D三点代入抛物线y=ax2+bx+c得 ，解得 ，

∴抛物线解析式为 ；

∵ ，

∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣ ）

（3）

解：如图2，连接AP，在Rt△APM中，∠PMA=30°，AP=2，

∴AM=4，

∴M（5，0），

∵ON=MO×tan30°= ，

∴N（0，﹣ ），

设直线MN的解析式为y=kx+b，

由于点M（5，0）和N（0，﹣ ）在直线MN上，则 ，解得 ，

∴直线MN的解析式为 ，

∵当x=1时，y=﹣ ，

∴点（1，﹣ ）在直线 上，

即直线MN经过抛物线的顶点

【解析】（1）连接AD，由垂径定理可求得OD的长，可求得D点的坐标，由半径和A点坐标可求得B、C的坐标；（2）利用待定系数法可求得抛物线解析式，化为顶点式可求得其顶点坐标；（3）连接AP，在Rt△APM中，可求得OM的长，可求得M点的坐标，从而可求得ON的长，可求得N点坐标，从而可求得直线MN的解析式，再把抛物线的顶点坐标代入进行判断即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解一次函数的性质的相关知识，掌握一般地，一次函数y=kx+b有下列性质：（1）当k>0时，y随x的增大而增大（2）当k<0时，y随x的增大而减小．