Question

【题目】如图，内接于，，是的直径，点是延长线上一点，且．

求证：是的切线；

若，求的直径．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）的直径为．

【解析】

（1）连接OA，根据圆周角定理首先求得∠AOC的度数，然后根据三角形内角和定理求得∠OAP=90°，从而求解；

（2）根据直角三角形的性质，直角三角形中30°所对的边等于斜边的一半，即可求解．

（1）连接OA．

∵∠B=60°，∴∠AOC=2∠B=120°，∠AOD=180°－120°=60°．

又∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=30°．

又∵AP=AC，∴∠P=∠ACP=30°，∴∠OAP=180°－∠AOD﹣∠P=90°，∴OA⊥PA，∴PA是⊙O的切线．

（2）设该圆的半径为x．

在Rt△OAP中，∵∠P=30°，∴PO=2OA=OD+PD．

又∵OA=OD，∴1+x=2x，解得：x=1，∴OA=PD=1，所以⊙O的直径为2．