题目内容

【题目】如图,抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于点A(1,0)和B(4,0).

(1)求抛物线的解析式;

(2)若抛物线的对称轴交x轴于点E,点F是位于x轴上方对称轴上一点,FCx轴,与对称轴右侧的抛物线交于点C,且四边形OECF是平行四边形,求点C的坐标;

(3)在(2)的条件下,抛物线的对称轴上是否存在点P,使OCP是直角三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】(1)y=x2x+2(2)(5,2);(3)存在点P(,﹣)或()或()或(

【解析】

试题分析:方法一:

(1)把点A、B的坐标代入函数解析式,解方程组求出a、b的值,即可得解;

(2)根据抛物线解析式求出对称轴,再根据平行四边形的对角线互相平分求出点C的横坐标,然后代入函数解析式计算求出纵坐标,即可得解;

(3)设AC、EF的交点为D,根据点C的坐标写出点D的坐标,然后分①点O是直角顶点时,求出OEDPEO相似,根据相似三角形对应边成比例求出PE,然后写出点P的坐标即可;②点C是直角顶点时,同理求出PF,再求出PE,然后写出点P的坐标即可;③点P是直角顶点时,利用勾股定理列式求出OC,然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得PD=OC,再分点P在OC的上方与下方两种情况写出点P的坐标即可.

方法二:

(1)略.

(2)因为四边形OECF是平行四边形,且FCx轴,列出F,C的参数坐标,利用FC=OE,可求出C点坐标.

(3)列出点P的参数坐标,分别列出O,C两点坐标,由于OCP是直角三角形,所以分别讨论三种垂直的位置关系,利用斜率垂直公式,可求出三种情况下点P的坐标.

方法一:

解:(1)把点A(1,0)和B(4,0)代入y=ax2+bx+2得,

解得

所以,抛物线的解析式为y=x2x+2;

(2)抛物线的对称轴为直线x=

四边形OECF是平行四边形,

点C的横坐标是×2=5,

点C在抛物线上,

y=×52×5+2=2,

点C的坐标为(5,2);

(3)设OC与EF的交点为D,

点C的坐标为(5,2),

点D的坐标为(,1),

①点O是直角顶点时,易得OED∽△PEO

=

=

解得PE=

所以,点P的坐标为(,﹣);

②点C是直角顶点时,同理求出PF=

所以,PE=+2=

所以,点P的坐标为();

③点P是直角顶点时,由勾股定理得,OC==

PD是OC边上的中线,

PD=OC=

若点P在OC上方,则PE=PD+DE=+1,

此时,点P的坐标为(),

若点P在OC的下方,则PE=PD﹣DE=﹣1,

此时,点P的坐标为(),

综上所述,抛物线的对称轴上存在点P(,﹣)或()或()或(),使OCP是直角三角形.

方法二:

(1)略.

(2)FCx轴,当FC=OE时,四边形OECF是平行四边形.

设C(t,),

F+2),

t=

t=5,C(5,2).

(3)点P在抛物线的对称轴上,设P(,t),O(0,0),C(5,2),

∵△OCP是直角三角形,OCOP,OCPC,OPPC

①OCOPKOC×KOP=﹣1,

t=P,﹣),

②OCPCKOC×KPC=﹣1,=﹣1,

t=,P(),

③OPPCKOP×KPC=﹣1,

4t2﹣8t﹣25=0,t=

点P的坐标为()或(),

综上所述,抛物线的对称轴上存在点P(,﹣)或()或()或(),使OCP是直角三角形.

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