题目内容
【题目】如图,抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于点A(1,0)和B(4,0).
(1)求抛物线的解析式;
(2)若抛物线的对称轴交x轴于点E,点F是位于x轴上方对称轴上一点,FC∥x轴,与对称轴右侧的抛物线交于点C,且四边形OECF是平行四边形,求点C的坐标;
(3)在(2)的条件下,抛物线的对称轴上是否存在点P,使△OCP是直角三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)y=x2﹣x+2;(2)(5,2);(3)存在点P(,﹣)或(,)或(,)或(,)
【解析】
试题分析:方法一:
(1)把点A、B的坐标代入函数解析式,解方程组求出a、b的值,即可得解;
(2)根据抛物线解析式求出对称轴,再根据平行四边形的对角线互相平分求出点C的横坐标,然后代入函数解析式计算求出纵坐标,即可得解;
(3)设AC、EF的交点为D,根据点C的坐标写出点D的坐标,然后分①点O是直角顶点时,求出△OED和△PEO相似,根据相似三角形对应边成比例求出PE,然后写出点P的坐标即可;②点C是直角顶点时,同理求出PF,再求出PE,然后写出点P的坐标即可;③点P是直角顶点时,利用勾股定理列式求出OC,然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得PD=OC,再分点P在OC的上方与下方两种情况写出点P的坐标即可.
方法二:
(1)略.
(2)因为四边形OECF是平行四边形,且FC∥x轴,列出F,C的参数坐标,利用FC=OE,可求出C点坐标.
(3)列出点P的参数坐标,分别列出O,C两点坐标,由于△OCP是直角三角形,所以分别讨论三种垂直的位置关系,利用斜率垂直公式,可求出三种情况下点P的坐标.
方法一:
解:(1)把点A(1,0)和B(4,0)代入y=ax2+bx+2得,
,
解得,
所以,抛物线的解析式为y=x2﹣x+2;
(2)抛物线的对称轴为直线x=,
∵四边形OECF是平行四边形,
∴点C的横坐标是×2=5,
∵点C在抛物线上,
∴y=×52﹣×5+2=2,
∴点C的坐标为(5,2);
(3)设OC与EF的交点为D,
∵点C的坐标为(5,2),
∴点D的坐标为(,1),
①点O是直角顶点时,易得△OED∽△PEO,
∴=,
即=,
解得PE=,
所以,点P的坐标为(,﹣);
②点C是直角顶点时,同理求出PF=,
所以,PE=+2=,
所以,点P的坐标为(,);
③点P是直角顶点时,由勾股定理得,OC==,
∵PD是OC边上的中线,
∴PD=OC=,
若点P在OC上方,则PE=PD+DE=+1,
此时,点P的坐标为(,),
若点P在OC的下方,则PE=PD﹣DE=﹣1,
此时,点P的坐标为(,),
综上所述,抛物线的对称轴上存在点P(,﹣)或(,)或(,)或(,),使△OCP是直角三角形.
方法二:
(1)略.
(2)∵FC∥x轴,∴当FC=OE时,四边形OECF是平行四边形.
设C(t,),
∴F(,+2),
∴t﹣=,
∴t=5,C(5,2).
(3)∵点P在抛物线的对称轴上,设P(,t),O(0,0),C(5,2),
∵△OCP是直角三角形,∴OC⊥OP,OC⊥PC,OP⊥PC,
①OC⊥OP,∴KOC×KOP=﹣1,∴,
∴t=﹣,∴P(,﹣),
②OC⊥PC,∴KOC×KPC=﹣1,∴=﹣1,
∴t=,P(,),
③OP⊥PC,∴KOP×KPC=﹣1,∴,
∴4t2﹣8t﹣25=0,∴t=或,
点P的坐标为(,)或(,),
综上所述,抛物线的对称轴上存在点P(,﹣)或(,)或(,)或(,),使△OCP是直角三角形.