题目内容

当x依次取1，2，3，…，2009， $数学公式$ ， $数学公式$ ， $数学公式$ ，…， $数学公式$ 时，代数式 $数学公式$ 的值的和等于________．

2008 $\text{[math]}$
分析：因为当x= $\text{[math]}$ 时和当x=k时，分别代入代数式 $\text{[math]}$ ，再把它们所得的和相加的1.2，3，…，2009， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，…， $\text{[math]}$ 恰好分别对应互为相反数，从而问题的得解．
解答：∵当x= $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
当x=k时， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
故这两值相加得： $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1，
∴当x依次取1，2，3，…2009， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，…， $\text{[math]}$ 时，
原式= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ ，
= $\text{[math]}$ +（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）+（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）+…+（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ），
= $\text{[math]}$ +1+1+…1，
= $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查因式分解在分式化简中的运用，在化简中注意不同的分式相加是一个常数．