题目内容
【题目】如图，一次函数y=－
x+2分别交y轴、x轴于A、B两点，抛物线y=－
+bx+c过A、B两点．
(1)求这个抛物线的解析式；
(2)作垂直x轴的直线x=t，在第一象限交直线AB于M，交这个抛物线于N．求当t取何值时，MN有最大值？最大值是多少？
(3)在(2)的情况下，以A、M、N、D为顶点作平行四边形，求第四个顶点D的坐标．
【答案】y=-
+3．5x+2；t=2时，最大值为4；（0，6），（0，-2）或（4，4）
【解析】（1）首先求得A、B点的坐标，然后利用待定系数法求抛物线的解析式；
（2）本问要点是求得线段MN的表达式，这个表达式是关于t的二次函数，利用二次函数的极值求线段MN的最大值；
（3）本问要点是明确D点的可能位置有三种情形，如答图2所示，不要遗漏．其中D1、D2在y轴上，利用线段数量关系容易求得坐标；D3点在第一象限，是直线D1N和D2M的交点，利用直线解析式求得交点坐标．
解：（1）∵
分别交y轴、x轴于A、B两点，
∴A、B点的坐标为：A（0，2），B（4，0），
将x=0，y=2代入y=﹣x2+bx+c得c=2，
将x=4，y=0代入y=﹣x2+bx+c得0=﹣16+4b+2，解得b=
，
∴抛物线解析式为：y=﹣x2+
x+2；
（2）如答图1，设MN交x轴于点E，
则E（t，0），BE=4﹣t．
∵tan∠ABO=
=
，
∴ME=BEtan∠ABO=（4﹣t）×
=2﹣
t．
又N点在抛物线上，且xN=t，∴yN=﹣t2+
t+2，
∴MN=yN﹣ME=﹣t2+
t+2﹣（2﹣
t）=﹣t2+4t，
∴当t=2时，MN有最大值4；
（3）由（2）可知，A（0，2），M（2，1），N（2，5）．
以A、M、N、D为顶点作平行四边形，D点的可能位置有三种情形，如答图2所示．
（i）当D在y轴上时，设D的坐标为（0，a）
由AD=MN，得|a﹣2|=4，解得a1=6，a2=﹣2，
从而D为（0，6）或D（0，﹣2），
（ii）当D不在y轴上时，由图可知D3为D1N与D2M的交点，
易得D1N的方程为y=
x+6，D2M的方程为y=
x﹣2，
由两方程联立解得D为（4，4）
故所求的D点坐标为（0，6），（0，﹣2）或（4，4）．
“点睛”本题是二次函数综合题，考查了抛物线上点的坐标特征、二次函数的极值、待定系数法求函数解析式、平行四边形等重要知识点．难点在于第（3）问，点D的可能位置有三种情况，解答时年容易遗漏而导致失分，作为中考压轴题此题有一定难度．
