题目内容

问题背景：“在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为
5
、
10
、
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，求这个三角形的面积．”
小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网络中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），
（1）如图所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积是
3.5
3.5
．
（2）如图我们把上述求面积的方法叫做构图法．若△DCE三边的长分别为
m2+16n2
、
9m2+4n2
、
4m2+4n2
（m＞0，n＞0，且m≠n），试运用构图法求出这三角形的面积．
分析：（1）如图1所示，可得出四边形MNCP为正方形，△ABM、△ANC及△PBC都为直角三角形，由正方形MNCP的面积-直角三角形AMB的面积-直角三角形ANC的面积-直角三角形PBC的面积，求出即可；
（2）如图所示构造网格，网格由边长分别为m与n的36个小长方形构成，由矩形DEGK的面积-直角三角形DEF的面积-直角三角形HGF的面积-直角三角形DHK的面积，求出即可．
解答：
解：（1）如图1所示，可得出四边形MNCP为正方形，△ABM、△ANC及△PBC都为直角三角形，
∴S△ABC=S正方形MNPC-S△ABM-S△ANC-S△PBC=3×3-
1
2
×2×1-
1
2
×2×3-
1
2
×1×3=9-1-3-1.5=3.5；
（2）如图所示，网格由边长分别为m与n的小长方形构成，
在Rt△DEF中，EF=m，DE=4n，
根据勾股定理得：DF=
DE2+EF2
=
m2+16n2
，
在Rt△DKH中，DK=3m，KH=2n，
根据勾股定理得：DH=
DK2+KH2
=
9m2+4n2
，
在Rt△FGH中，FG=2m，HG=2n，
根据勾股定理得：HF=
FG2+HG2
=
4m2+4n2
，
∴S△DFH=S矩形DEGK-S△DEF-S△DKH-S△FGH=12mn-
1
2
×m×4n-
1
2
×3m×2n-
1
2
×2m×2n=5mn．
故答案为：（1）3.5
点评：此题考查了勾股定理，以及三角形的面积，利用了数形结合的思想，弄清题意，画出相应的图形是解本题的关键．
练习册系列答案
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问题背景：在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为
5
、
10
、
13
，求这个三角形的面积小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶精英家教网点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．
（1）请你将△ABC的面积直接填写在横线上．
 

（2）画△DEF，DE、EF、DF三边的长分别为
2
、
8
、
10

①判断三角形的形状，说明理由．
②求这个三角形的面积．
问题背景：某课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下两个命题：
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①如图1，在正三角形ABC中，M，N分别是AC，AB上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON=60°，则BM=CN；
②如图2，在正方形ABCD中，M，N分别是CD，AD上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON=90°，则BM=CN．
然后运用类比的思想提出了如下命题；
③如图3，在正五边形ABCDE中，M，N分别是CD，DE上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON=108°，则BM=CN．任务要求：
（1）请你从①，②，③三个命题中选择一个进行证明；
（2）请你继续完成下面的探索：
①如图4，在正n（n≥3）边形ABCDEF…中，M，N分别是CD，DE上的点，BM与CN相交于点O，试问当∠BON等于多少度时，结论BM=CN成立；（不要求证明）
②如图5，在正五边形ABCDE中，M，N分别是DE，AE上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON=108°时，试问结论BM=CN是否还成立．若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．
问题背景  在△ABC中，∠B=2∠C，点D为线段BC上一动点，当AD满足某种条件时，探讨在线段AB、BD、CD、AC四条线段中，某两条或某三条线段之间存在的数量关系．
例如：在图1中，当AB=AD时，可证得AB=DC，现在继续探索：
任务要求：
（1）当AD⊥BC时，如图2，求证：AB+BD=DC；
（2）当AD是∠BAC的角平分线时，判断AB、BD、AC的数量关系，并证明你的结精英家教网论．
问题背景：已知x是实数，求y=
x2+4
+
(12-x)2+9
的最小值．要解决这个问题需现判断出0＜x＜12，继而联想到构造以边长为2+3和12为边的矩形，找出等于
x2+22
和
(12-x)2+32
的线段，再比较
x2+22
和
(12-x)2+32
和矩形对角线的大小．
解：构造矩形ABCD，使AB=5，AD=12．在AB上截取AM=3，做矩形AMND．设点P是MN上一点MP=x，则PN=12-x，
PB=
x2+22
PD=
(12-x)2+32
BD=
122+52
=13
∵PB+PD≥BD=13
∴y的最小值是13.

（1）我们把上述求最值问题的方法叫做构图法．请仿造上述方法求y=
1+x2
+
25+(8-x)2
的最小值．
探索创新：
（2）已知a，b，c，d是正实数且a+b+c+d=1，试运用构图法求
a2+b2
+
b2+c2
+
c2+d2
+
d2+a2
的最小值．
（2011•临川区模拟）问题背景：如图1，四边形ABCD和CEFG都是正方形，B，C，E在同一条直线上，连接BG，DE．
问题探究：
（1）①如图1所示，当G在CD边上时，猜想线段BG、DE的数量关系及所在直线的位置关系．（不要求证明）
②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度α，得到如图2，如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立，请选择图2或图3证明你的判断．
类比研究：
（2）若将原题中的“正方形”改为“矩形”（如图4所示），且
AB
BC
=
CE
CG
=k（其中k＞0），请直接写出线段BG、DE的数量关系及位置关系．请选择图5或图6证明你的判断．
拓展应用：
（3）在（1）中图2中，连接DG、BE，若AB=3，EF=2，求BE2+DG2的值．

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