Question

已知：如图，AB为⊙O的弦，OD⊥AB，垂足为点D，DO的延长线交⊙O于点C．过点C作CE⊥AO，分别与AB、AO的延长线相交于E、F两点．CD = 8，．

求：（1）弦AB的长；
（2）△CDE的面积．

Answer 1

（1）8（2）24

解：（1）设⊙O的半径OA = r，那么OD =" 8" –r．
由 OD⊥AB，得  ∠ADO = 90°．
于是，由 ，即得 ．
解得 r = 5．……………………………………………………………（2分）
∴ OA = 5，OD = 3．
利用勾股定理，得 ．………………………（2分）
∵ OD⊥AB，O为圆心，∴ AB = 2AD = 8．………………………（1分）
（2）∵ CE⊥AO，∴  ∠AFE =∠CDE = 90°．
于是，由  ∠A +∠AEF = 90°，∠C +∠CED = 90°，
得  ∠A =∠C．…………………………………………………………（1分）
又∵  ∠ADO =∠CDE = 90°，
∴  △AOD∽△CED．
∴ ．………………………………………………（2分）
∵ ，
∴ ．………………………………………………（2分）
（1）设圆的半径为r,则OD =" 8" –r．利用三角函数和勾股定理求解；
（2）证得△AOD∽△CED，得出面积之比等于相似比的平方。